Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4612 / 29188
↖ ↑ ↗
← S 80.186207°
W129.331055°		 ← 208.22 m → S 80.186207°
W129.320068°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 80.188079°
W129.331055°		 ← 208.19 m →
43 349 m²		 S 80.188079°
W129.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140762329101562 y=0.890762329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140762329101562 × 215)
    floor (0.140762329101562 × 32768)
    floor (4612.5)     		tx = 4612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890762329101562 × 215)
    floor (0.890762329101562 × 32768)
    floor (29188.5)     		ty = 29188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4612 / 29188 ti = "15/4612/29188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4612/29188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4612 ÷ 215
    4612 ÷ 32768     		x = 0.1407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29188 ÷ 215
    29188 ÷ 32768     		y = 0.8907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25725273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.4551362509408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25725273} λ = -2.25725273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4551362509408))-π/2
    2×atan(0.0858514972969679)-π/2
    2×0.0856415029369971-π/2
    0.171283005873994-1.57079632675     		φ = -1.39951332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25725273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39951332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.186207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4612 KachelY 29188 -2.25725273 -1.39951332 -129.331055 -80.186207
    Oben rechts KachelX + 1 4613 KachelY 29188 -2.25706098 -1.39951332 -129.320068 -80.186207
    Unten links KachelX 4612 KachelY + 1 29189 -2.25725273 -1.39954600 -129.331055 -80.188079
    Unten rechts KachelX + 1 4613 KachelY + 1 29189 -2.25706098 -1.39954600 -129.320068 -80.188079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39951332--1.39954600) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dl = 208.204279999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39951332--1.39954600) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dr = 208.204279999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25725273--2.25706098) × cos(-1.39951332) × R
    0.000191749999999935 × 0.17044672142691 × 6371000     		do = 208.224404928858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25725273--2.25706098) × cos(-1.39954600) × R
    0.000191749999999935 × 0.170414519545813 × 6371000     		du = 208.185065846987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39951332)-sin(-1.39954600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17044672142691-0.170414519545813)×R²
    abs(-2.25706098--2.25725273)×3.22018810965941e-05×R²
    0.000191749999999935×3.22018810965941e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.22018810965941e-05×40589641000000     		ar = 43349.117028459m²