Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4612 / 4612
↖ ↑ ↗
← S 22.105999°
E 22.675781°		 ← 4 527.28 m → S 22.105999°
E 22.719726°		 →
↑
4 526.66 m
↓
↑
4 526.66 m
↓
S 22.146708°
E 22.675781°		 ← 4 525.98 m →
20 490 510 m²		 S 22.146708°
E 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56304931640625 y=0.56304931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56304931640625 × 213)
    floor (0.56304931640625 × 8192)
    floor (4612.5)     		tx = 4612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56304931640625 × 213)
    floor (0.56304931640625 × 8192)
    floor (4612.5)     		ty = 4612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4612 / 4612 ti = "13/4612/4612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4612/4612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4612 ÷ 213
    4612 ÷ 8192     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4612 ÷ 213
    4612 ÷ 8192     		y = 0.56298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    -0.1259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.395767043263184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395767043263184))-π/2
    2×atan(0.673163495644193)-π/2
    2×0.592486931653908-π/2
    1.18497386330782-1.57079632675     		φ = -0.38582246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38582246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.105999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4612 KachelY 4612 0.39576704 -0.38582246 22.675781 -22.105999
    Oben rechts KachelX + 1 4613 KachelY 4612 0.39653403 -0.38582246 22.719726 -22.105999
    Unten links KachelX 4612 KachelY + 1 4613 0.39576704 -0.38653297 22.675781 -22.146708
    Unten rechts KachelX + 1 4613 KachelY + 1 4613 0.39653403 -0.38653297 22.719726 -22.146708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38582246--0.38653297) × R
    0.000710509999999998 × 6371000     		dl = 4526.65920999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38582246--0.38653297) × R
    0.000710509999999998 × 6371000     		dr = 4526.65920999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39653403) × cos(-0.38582246) × R
    0.000766989999999967 × 0.926489236878441 × 6371000     		do = 4527.28343926353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39653403) × cos(-0.38653297) × R
    0.000766989999999967 × 0.926221623022251 × 6371000     		du = 4525.97574595094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38582246)-sin(-0.38653297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926489236878441-0.926221623022251)×R²
    abs(0.39653403-0.39576704)×0.000267613856190674×R²
    0.000766989999999967×0.000267613856190674×6371000²
    0.000766989999999967×0.000267613856190674×40589641000000     		ar = 20490510.3976424m²