Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4612 / 516
↖ ↑ ↗
← N 82.653843°
E 22.675781°		 ← 624.80 m → N 82.653843°
E 22.719726°		 →
↑
625.06 m
↓
↑
625.06 m
↓
N 82.648222°
E 22.675781°		 ← 625.28 m →
390 688 m²		 N 82.648222°
E 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56304931640625 y=0.06304931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56304931640625 × 213)
    floor (0.56304931640625 × 8192)
    floor (4612.5)     		tx = 4612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06304931640625 × 213)
    floor (0.06304931640625 × 8192)
    floor (516.5)     		ty = 516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4612 / 516 ti = "13/4612/516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4612/516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4612 ÷ 213
    4612 ÷ 8192     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 516 ÷ 213
    516 ÷ 8192     		y = 0.06298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06298828125 × 2 - 1) × π
    0.8740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74582561023682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74582561023682))-π/2
    2×atan(15.5774695429108)-π/2
    2×1.50668901424791-π/2
    3.01337802849583-1.57079632675     		φ = 1.44258170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44258170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.653843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4612 KachelY 516 0.39576704 1.44258170 22.675781 82.653843
    Oben rechts KachelX + 1 4613 KachelY 516 0.39653403 1.44258170 22.719726 82.653843
    Unten links KachelX 4612 KachelY + 1 517 0.39576704 1.44248359 22.675781 82.648222
    Unten rechts KachelX + 1 4613 KachelY + 1 517 0.39653403 1.44248359 22.719726 82.648222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44258170-1.44248359) × R
    9.81100000001511e-05 × 6371000     		dl = 625.058810000963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44258170-1.44248359) × R
    9.81100000001511e-05 × 6371000     		dr = 625.058810000963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39653403) × cos(1.44258170) × R
    0.000766989999999967 × 0.127863628915862 × 6371000     		do = 624.804764732384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39653403) × cos(1.44248359) × R
    0.000766989999999967 × 0.127960932989761 × 6371000     		du = 625.280240436579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44258170)-sin(1.44248359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127863628915862-0.127960932989761)×R²
    abs(0.39653403-0.39576704)×9.73040738986852e-05×R²
    0.000766989999999967×9.73040738986852e-05×6371000²
    0.000766989999999967×9.73040738986852e-05×40589641000000     		ar = 390688.323176358m²