Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4613 / 4611
↖ ↑ ↗
← S 22.065278°
E 22.719726°		 ← 4 528.59 m → S 22.065278°
E 22.763672°		 →
↑
4 527.93 m
↓
↑
4 527.93 m
↓
S 22.105999°
E 22.719726°		 ← 4 527.28 m →
20 502 195 m²		 S 22.105999°
E 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56317138671875 y=0.56292724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56317138671875 × 213)
    floor (0.56317138671875 × 8192)
    floor (4613.5)     		tx = 4613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56292724609375 × 213)
    floor (0.56292724609375 × 8192)
    floor (4611.5)     		ty = 4611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4613 / 4611 ti = "13/4613/4611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4613/4611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4613 ÷ 213
    4613 ÷ 8192     		x = 0.5631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4611 ÷ 213
    4611 ÷ 8192     		y = 0.5628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5631103515625 × 2 - 1) × π
    0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.395000052869263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39653403} λ = 0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395000052869263))-π/2
    2×atan(0.673680003631902)-π/2
    2×0.592842287077377-π/2
    1.18568457415475-1.57079632675     		φ = -0.38511175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38511175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.065278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4613 KachelY 4611 0.39653403 -0.38511175 22.719726 -22.065278
    Oben rechts KachelX + 1 4614 KachelY 4611 0.39730102 -0.38511175 22.763672 -22.065278
    Unten links KachelX 4613 KachelY + 1 4612 0.39653403 -0.38582246 22.719726 -22.105999
    Unten rechts KachelX + 1 4614 KachelY + 1 4612 0.39730102 -0.38582246 22.763672 -22.105999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38511175--0.38582246) × R
    0.000710710000000003 × 6371000     		dl = 4527.93341000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38511175--0.38582246) × R
    0.000710710000000003 × 6371000     		dr = 4527.93341000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39653403-0.39730102) × cos(-0.38511175) × R
    0.000766990000000023 × 0.926756458152782 × 6371000     		do = 4528.58921422787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39653403-0.39730102) × cos(-0.38582246) × R
    0.000766990000000023 × 0.926489236878441 × 6371000     		du = 4527.28343926386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38511175)-sin(-0.38582246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926756458152782-0.926489236878441)×R²
    abs(0.39730102-0.39653403)×0.000267221274340868×R²
    0.000766990000000023×0.000267221274340868×6371000²
    0.000766990000000023×0.000267221274340868×40589641000000     		ar = 20502195.035212m²