Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4616 / 5640
↖ ↑ ↗
← S 55.973798°
E 22.851562°		 ← 2 734.38 m → S 55.973798°
E 22.895508°		 →
↑
2 733.48 m
↓
↑
2 733.48 m
↓
S 55.998381°
E 22.851562°		 ← 2 732.64 m →
7 471 992 m²		 S 55.998381°
E 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56353759765625 y=0.68853759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56353759765625 × 213)
    floor (0.56353759765625 × 8192)
    floor (4616.5)     		tx = 4616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68853759765625 × 213)
    floor (0.68853759765625 × 8192)
    floor (5640.5)     		ty = 5640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4616 / 5640 ti = "13/4616/5640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4616/5640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4616 ÷ 213
    4616 ÷ 8192     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5640 ÷ 213
    5640 ÷ 8192     		y = 0.6884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    -0.376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18423316821387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18423316821387))-π/2
    2×atan(0.305980725304736)-π/2
    2×0.296934626644179-π/2
    0.593869253288358-1.57079632675     		φ = -0.97692707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97692707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.973798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4616 KachelY 5640 0.39883500 -0.97692707 22.851562 -55.973798
    Oben rechts KachelX + 1 4617 KachelY 5640 0.39960200 -0.97692707 22.895508 -55.973798
    Unten links KachelX 4616 KachelY + 1 5641 0.39883500 -0.97735612 22.851562 -55.998381
    Unten rechts KachelX + 1 4617 KachelY + 1 5641 0.39960200 -0.97735612 22.895508 -55.998381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97692707--0.97735612) × R
    0.000429050000000042 × 6371000     		dl = 2733.47755000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97692707--0.97735612) × R
    0.000429050000000042 × 6371000     		dr = 2733.47755000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.39960200) × cos(-0.97692707) × R
    0.000767000000000018 × 0.559571973082755 × 6371000     		do = 2734.38034207141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.39960200) × cos(-0.97735612) × R
    0.000767000000000018 × 0.559216332775123 × 6371000     		du = 2732.64248543667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97692707)-sin(-0.97735612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559571973082755-0.559216332775123)×R²
    abs(0.39960200-0.39883500)×0.000355640307632576×R²
    0.000767000000000018×0.000355640307632576×6371000²
    0.000767000000000018×0.000355640307632576×40589641000000     		ar = 7471992.19679007m²