Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4618 / 4618
↖ ↑ ↗
← S 22.350076°
E 22.939453°		 ← 4 519.41 m → S 22.350076°
E 22.983399°		 →
↑
4 518.76 m
↓
↑
4 518.76 m
↓
S 22.390714°
E 22.939453°		 ← 4 518.09 m →
20 419 141 m²		 S 22.390714°
E 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56378173828125 y=0.56378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56378173828125 × 213)
    floor (0.56378173828125 × 8192)
    floor (4618.5)     		tx = 4618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56378173828125 × 213)
    floor (0.56378173828125 × 8192)
    floor (4618.5)     		ty = 4618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4618 / 4618 ti = "13/4618/4618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4618/4618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4618 ÷ 213
    4618 ÷ 8192     		x = 0.563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4618 ÷ 213
    4618 ÷ 8192     		y = 0.563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563720703125 × 2 - 1) × π
    0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.400368985626709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40036899} λ = 0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.400368985626709))-π/2
    2×atan(0.670072753199914)-π/2
    2×0.590356957959138-π/2
    1.18071391591828-1.57079632675     		φ = -0.39008241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39008241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.350076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4618 KachelY 4618 0.40036899 -0.39008241 22.939453 -22.350076
    Oben rechts KachelX + 1 4619 KachelY 4618 0.40113598 -0.39008241 22.983399 -22.350076
    Unten links KachelX 4618 KachelY + 1 4619 0.40036899 -0.39079168 22.939453 -22.390714
    Unten rechts KachelX + 1 4619 KachelY + 1 4619 0.40113598 -0.39079168 22.983399 -22.390714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39008241--0.39079168) × R
    0.000709269999999984 × 6371000     		dl = 4518.7591699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39008241--0.39079168) × R
    0.000709269999999984 × 6371000     		dr = 4518.7591699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40036899-0.40113598) × cos(-0.39008241) × R
    0.000766990000000023 × 0.924877725389341 × 6371000     		do = 4519.40879918561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40036899-0.40113598) × cos(-0.39079168) × R
    0.000766990000000023 × 0.924607782477568 × 6371000     		du = 4518.08972495855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39008241)-sin(-0.39079168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924877725389341-0.924607782477568)×R²
    abs(0.40113598-0.40036899)×0.000269942911772958×R²
    0.000766990000000023×0.000269942911772958×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269942911772958×40589641000000     		ar = 20419140.5209291m²