Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4624 / 4656
↖ ↑ ↗
← S 23.885838°
E 23.203125°		 ← 4 467.99 m → S 23.885838°
E 23.247070°		 →
↑
4 467.28 m
↓
↑
4 467.28 m
↓
S 23.926013°
E 23.203125°		 ← 4 466.60 m →
19 956 646 m²		 S 23.926013°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56451416015625 y=0.56842041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56451416015625 × 213)
    floor (0.56451416015625 × 8192)
    floor (4624.5)     		tx = 4624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56842041015625 × 213)
    floor (0.56842041015625 × 8192)
    floor (4656.5)     		ty = 4656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4624 / 4656 ti = "13/4624/4656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4624/4656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4624 ÷ 213
    4624 ÷ 8192     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4656 ÷ 213
    4656 ÷ 8192     		y = 0.568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568359375 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.429514620595703))-π/2
    2×atan(0.650824915080351)-π/2
    2×0.57695490717327-π/2
    1.15390981434654-1.57079632675     		φ = -0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4624 KachelY 4656 0.40497093 -0.41688651 23.203125 -23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 4625 KachelY 4656 0.40573792 -0.41688651 23.247070 -23.885838
    Unten links KachelX 4624 KachelY + 1 4657 0.40497093 -0.41758770 23.203125 -23.926013
    Unten rechts KachelX + 1 4625 KachelY + 1 4657 0.40573792 -0.41758770 23.247070 -23.926013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41688651--0.41758770) × R
    0.000701190000000018 × 6371000     		dl = 4467.28149000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41688651--0.41758770) × R
    0.000701190000000018 × 6371000     		dr = 4467.28149000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(-0.41688651) × R
    0.000766989999999967 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 4467.98503114894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(-0.41758770) × R
    0.000766989999999967 × 0.91406992318091 × 6371000     		du = 4466.59654621414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41688651)-sin(-0.41758770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.91406992318091)×R²
    abs(0.40573792-0.40497093)×0.000284147516920075×R²
    0.000766989999999967×0.000284147516920075×6371000²
    0.000766989999999967×0.000284147516920075×40589641000000     		ar = 19956646.2683949m²