Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4625 / 4623
↖ ↑ ↗
← S 22.553147°
E 23.247070°		 ← 4 512.79 m → S 22.553147°
E 23.291016°		 →
↑
4 512.13 m
↓
↑
4 512.13 m
↓
S 22.593726°
E 23.247070°		 ← 4 511.47 m →
20 359 335 m²		 S 22.593726°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56463623046875 y=0.56439208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56463623046875 × 213)
    floor (0.56463623046875 × 8192)
    floor (4625.5)     		tx = 4625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56439208984375 × 213)
    floor (0.56439208984375 × 8192)
    floor (4623.5)     		ty = 4623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4625 / 4623 ti = "13/4625/4623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4625/4623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4625 ÷ 213
    4625 ÷ 8192     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4623 ÷ 213
    4623 ÷ 8192     		y = 0.5643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.404203937596313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.404203937596313))-π/2
    2×atan(0.667507977414542)-π/2
    2×0.588584823309787-π/2
    1.17716964661957-1.57079632675     		φ = -0.39362668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39362668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.553147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4625 KachelY 4623 0.40573792 -0.39362668 23.247070 -22.553147
    Oben rechts KachelX + 1 4626 KachelY 4623 0.40650491 -0.39362668 23.291016 -22.553147
    Unten links KachelX 4625 KachelY + 1 4624 0.40573792 -0.39433491 23.247070 -22.593726
    Unten rechts KachelX + 1 4626 KachelY + 1 4624 0.40650491 -0.39433491 23.291016 -22.593726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39362668--0.39433491) × R
    0.000708229999999976 × 6371000     		dl = 4512.13332999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39362668--0.39433491) × R
    0.000708229999999976 × 6371000     		dr = 4512.13332999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40650491) × cos(-0.39362668) × R
    0.000766990000000023 × 0.923524158589623 × 6371000     		do = 4512.79460410122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40650491) × cos(-0.39433491) × R
    0.000766990000000023 × 0.923252292281228 × 6371000     		du = 4511.46613120947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39362668)-sin(-0.39433491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923524158589623-0.923252292281228)×R²
    abs(0.40650491-0.40573792)×0.000271866308395263×R²
    0.000766990000000023×0.000271866308395263×6371000²
    0.000766990000000023×0.000271866308395263×40589641000000     		ar = 20359334.6722044m²