Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4639 / 4641
↖ ↑ ↗
← S 23.281719°
E 23.862304°		 ← 4 488.60 m → S 23.281719°
E 23.906250°		 →
↑
4 487.86 m
↓
↑
4 487.86 m
↓
S 23.322080°
E 23.862304°		 ← 4 487.24 m →
20 141 146 m²		 S 23.322080°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56634521484375 y=0.56658935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56634521484375 × 213)
    floor (0.56634521484375 × 8192)
    floor (4639.5)     		tx = 4639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56658935546875 × 213)
    floor (0.56658935546875 × 8192)
    floor (4641.5)     		ty = 4641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4639 / 4641 ti = "13/4639/4641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4639/4641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4639 ÷ 213
    4639 ÷ 8192     		x = 0.5662841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4641 ÷ 213
    4641 ÷ 8192     		y = 0.5665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5662841796875 × 2 - 1) × π
    0.132568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41647578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.41800976468689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41647578} λ = 0.41647578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.41800976468689))-π/2
    2×atan(0.658355799755194)-π/2
    2×0.582226835833476-π/2
    1.16445367166695-1.57079632675     		φ = -0.40634266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41647578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.862304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40634266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.281719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4639 KachelY 4641 0.41647578 -0.40634266 23.862304 -23.281719
    Oben rechts KachelX + 1 4640 KachelY 4641 0.41724277 -0.40634266 23.906250 -23.281719
    Unten links KachelX 4639 KachelY + 1 4642 0.41647578 -0.40704708 23.862304 -23.322080
    Unten rechts KachelX + 1 4640 KachelY + 1 4642 0.41724277 -0.40704708 23.906250 -23.322080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40634266--0.40704708) × R
    0.000704419999999983 × 6371000     		dl = 4487.85981999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40634266--0.40704708) × R
    0.000704419999999983 × 6371000     		dr = 4487.85981999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41647578-0.41724277) × cos(-0.40634266) × R
    0.000766989999999967 × 0.918572535646619 × 6371000     		do = 4488.5985318153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41647578-0.41724277) × cos(-0.40704708) × R
    0.000766989999999967 × 0.918293884039723 × 6371000     		du = 4487.23690260796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40634266)-sin(-0.40704708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918572535646619-0.918293884039723)×R²
    abs(0.41724277-0.41647578)×0.00027865160689533×R²
    0.000766989999999967×0.00027865160689533×6371000²
    0.000766989999999967×0.00027865160689533×40589641000000     		ar = 20141146.4313883m²