Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4640 / 5664
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
E 23.906250°		 ← 2 692.80 m → S 56.559482°
E 23.950195°		 →
↑
2 691.94 m
↓
↑
2 691.94 m
↓
S 56.583692°
E 23.906250°		 ← 2 691.08 m →
7 246 546 m²		 S 56.583692°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56646728515625 y=0.69146728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56646728515625 × 213)
    floor (0.56646728515625 × 8192)
    floor (4640.5)     		tx = 4640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69146728515625 × 213)
    floor (0.69146728515625 × 8192)
    floor (5664.5)     		ty = 5664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4640 / 5664 ti = "13/4640/5664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4640/5664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4640 ÷ 213
    4640 ÷ 8192     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5664 ÷ 213
    5664 ÷ 8192     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4640 KachelY 5664 0.41724277 -0.98714919 23.906250 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 4641 KachelY 5664 0.41800976 -0.98714919 23.950195 -56.559482
    Unten links KachelX 4640 KachelY + 1 5665 0.41724277 -0.98757172 23.906250 -56.583692
    Unten rechts KachelX + 1 4641 KachelY + 1 5665 0.41800976 -0.98757172 23.950195 -56.583692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--0.98757172) × R
    0.000422530000000032 × 6371000     		dl = 2691.9386300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--0.98757172) × R
    0.000422530000000032 × 6371000     		dr = 2691.9386300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41800976) × cos(-0.98714919) × R
    0.000766990000000023 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 2692.80464091062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41800976) × cos(-0.98757172) × R
    0.000766990000000023 × 0.550718346063712 × 6371000     		du = 2691.08150272031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-0.98757172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.550718346063712)×R²
    abs(0.41800976-0.41724277)×0.00035263287761822×R²
    0.000766990000000023×0.00035263287761822×6371000²
    0.000766990000000023×0.00035263287761822×40589641000000     		ar = 7246545.65259175m²