Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4644 / 4644
↖ ↑ ↗
← S 23.402765°
E 24.082031°		 ← 4 484.51 m → S 23.402765°
E 24.125977°		 →
↑
4 483.85 m
↓
↑
4 483.85 m
↓
S 23.443089°
E 24.082031°		 ← 4 483.14 m →
20 104 780 m²		 S 23.443089°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56695556640625 y=0.56695556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56695556640625 × 213)
    floor (0.56695556640625 × 8192)
    floor (4644.5)     		tx = 4644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56695556640625 × 213)
    floor (0.56695556640625 × 8192)
    floor (4644.5)     		ty = 4644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4644 / 4644 ti = "13/4644/4644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4644/4644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4644 ÷ 213
    4644 ÷ 8192     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4644 ÷ 213
    4644 ÷ 8192     		y = 0.56689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.420310735868652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420310735868652))-π/2
    2×atan(0.656842683518634)-π/2
    2×0.581170512568187-π/2
    1.16234102513637-1.57079632675     		φ = -0.40845530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40845530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.402765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4644 KachelY 4644 0.42031074 -0.40845530 24.082031 -23.402765
    Oben rechts KachelX + 1 4645 KachelY 4644 0.42107773 -0.40845530 24.125977 -23.402765
    Unten links KachelX 4644 KachelY + 1 4645 0.42031074 -0.40915909 24.082031 -23.443089
    Unten rechts KachelX + 1 4645 KachelY + 1 4645 0.42107773 -0.40915909 24.125977 -23.443089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40845530--0.40915909) × R
    0.000703789999999982 × 6371000     		dl = 4483.84608999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40845530--0.40915909) × R
    0.000703789999999982 × 6371000     		dr = 4483.84608999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42107773) × cos(-0.40845530) × R
    0.000766989999999967 × 0.917735460230772 × 6371000     		do = 4484.50816841254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42107773) × cos(-0.40915909) × R
    0.000766989999999967 × 0.917455693085462 × 6371000     		du = 4483.14108813422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40845530)-sin(-0.40915909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917735460230772-0.917455693085462)×R²
    abs(0.42107773-0.42031074)×0.000279767145310306×R²
    0.000766989999999967×0.000279767145310306×6371000²
    0.000766989999999967×0.000279767145310306×40589641000000     		ar = 20104780.3575883m²