Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4648 / 4648
↖ ↑ ↗
← S 23.563987°
E 24.257813°		 ← 4 479.03 m → S 23.563987°
E 24.301758°		 →
↑
4 478.37 m
↓
↑
4 478.37 m
↓
S 23.604262°
E 24.257813°		 ← 4 477.65 m →
20 055 660 m²		 S 23.604262°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56744384765625 y=0.56744384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56744384765625 × 213)
    floor (0.56744384765625 × 8192)
    floor (4648.5)     		tx = 4648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56744384765625 × 213)
    floor (0.56744384765625 × 8192)
    floor (4648.5)     		ty = 4648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4648 / 4648 ti = "13/4648/4648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4648/4648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4648 ÷ 213
    4648 ÷ 8192     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4648 ÷ 213
    4648 ÷ 8192     		y = 0.5673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423378697444336))-π/2
    2×atan(0.654830603474667)-π/2
    2×0.579763583258475-π/2
    1.15952716651695-1.57079632675     		φ = -0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4648 KachelY 4648 0.42337870 -0.41126916 24.257813 -23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 4649 KachelY 4648 0.42414569 -0.41126916 24.301758 -23.563987
    Unten links KachelX 4648 KachelY + 1 4649 0.42337870 -0.41197209 24.257813 -23.604262
    Unten rechts KachelX + 1 4649 KachelY + 1 4649 0.42414569 -0.41197209 24.301758 -23.604262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41126916--0.41197209) × R
    0.000702929999999991 × 6371000     		dl = 4478.36702999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41126916--0.41197209) × R
    0.000702929999999991 × 6371000     		dr = 4478.36702999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42414569) × cos(-0.41126916) × R
    0.000766990000000023 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 4479.02906600591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42414569) × cos(-0.41197209) × R
    0.000766990000000023 × 0.916332946451931 × 6371000     		du = 4477.65479424342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41126916)-sin(-0.41197209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.916332946451931)×R²
    abs(0.42414569-0.42337870)×0.00028123885185638×R²
    0.000766990000000023×0.00028123885185638×6371000²
    0.000766990000000023×0.00028123885185638×40589641000000     		ar = 20055659.6747465m²