Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 46592 / 13824
↖ ↑ ↗
← N 71.524909°
E 75.937500°		 ← 193.55 m → N 71.524909°
E 75.942993°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
N 71.523168°
E 75.937500°		 ← 193.57 m →
37 464 m²		 N 71.523168°
E 75.942993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.710945129394531 y=0.210945129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.710945129394531 × 216)
    floor (0.710945129394531 × 65536)
    floor (46592.5)     		tx = 46592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210945129394531 × 216)
    floor (0.210945129394531 × 65536)
    floor (13824.5)     		ty = 13824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 46592 / 13824 ti = "16/46592/13824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/46592/13824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46592 ÷ 216
    46592 ÷ 65536     		x = 0.7109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13824 ÷ 216
    13824 ÷ 65536     		y = 0.2109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7109375 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.32535940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2109375 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.32535940} λ = 1.32535940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81623325280469))-π/2
    2×atan(6.14865434880464)-π/2
    2×1.40957074333464-π/2
    2.81914148666927-1.57079632675     		φ = 1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.32535940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 75.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46592 KachelY 13824 1.32535940 1.24834516 75.937500 71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 46593 KachelY 13824 1.32545527 1.24834516 75.942993 71.524909
    Unten links KachelX 46592 KachelY + 1 13825 1.32535940 1.24831478 75.937500 71.523168
    Unten rechts KachelX + 1 46593 KachelY + 1 13825 1.32545527 1.24831478 75.942993 71.523168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24834516-1.24831478) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24834516-1.24831478) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.32535940-1.32545527) × cos(1.24834516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 193.553970340011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.32535940-1.32545527) × cos(1.24831478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316921161746172 × 6371000     		du = 193.571569648749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24834516)-sin(1.24831478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.316921161746172)×R²
    abs(1.32545527-1.32535940)×2.88141144972887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88141144972887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88141144972887e-05×40589641000000     		ar = 37464.2638270102m²