Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4671 / 4673
↖ ↑ ↗
← S 24.567108°
E 25.268555°		 ← 4 444.14 m → S 24.567108°
E 25.312500°		 →
↑
4 443.45 m
↓
↑
4 443.45 m
↓
S 24.607069°
E 25.268555°		 ← 4 442.73 m →
19 744 196 m²		 S 24.607069°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57025146484375 y=0.57049560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57025146484375 × 213)
    floor (0.57025146484375 × 8192)
    floor (4671.5)     		tx = 4671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57049560546875 × 213)
    floor (0.57049560546875 × 8192)
    floor (4673.5)     		ty = 4673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4671 / 4673 ti = "13/4671/4673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4671/4673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4671 ÷ 213
    4671 ÷ 8192     		x = 0.5701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4673 ÷ 213
    4673 ÷ 8192     		y = 0.5704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5701904296875 × 2 - 1) × π
    0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.442553457292358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44101948} λ = 0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.442553457292358))-π/2
    2×atan(0.642393999406388)-π/2
    2×0.571009699179875-π/2
    1.14201939835975-1.57079632675     		φ = -0.42877693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42877693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.567108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4671 KachelY 4673 0.44101948 -0.42877693 25.268555 -24.567108
    Oben rechts KachelX + 1 4672 KachelY 4673 0.44178647 -0.42877693 25.312500 -24.567108
    Unten links KachelX 4671 KachelY + 1 4674 0.44101948 -0.42947438 25.268555 -24.607069
    Unten rechts KachelX + 1 4672 KachelY + 1 4674 0.44178647 -0.42947438 25.312500 -24.607069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42877693--0.42947438) × R
    0.000697449999999988 × 6371000     		dl = 4443.45394999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42877693--0.42947438) × R
    0.000697449999999988 × 6371000     		dr = 4443.45394999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44101948-0.44178647) × cos(-0.42877693) × R
    0.000766989999999967 × 0.909474931859145 × 6371000     		do = 4444.14315195273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44101948-0.44178647) × cos(-0.42947438) × R
    0.000766989999999967 × 0.909184739733086 × 6371000     		du = 4442.72513007593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42877693)-sin(-0.42947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909474931859145-0.909184739733086)×R²
    abs(0.44178647-0.44101948)×0.000290192126059186×R²
    0.000766989999999967×0.000290192126059186×6371000²
    0.000766989999999967×0.000290192126059186×40589641000000     		ar = 19744195.7858135m²