Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4672 / 12864
↖ ↑ ↗
← N 36.031332°
W128.671875°		 ← 987.88 m → N 36.031332°
W128.660889°		 →
↑
987.95 m
↓
↑
987.95 m
↓
N 36.022447°
W128.671875°		 ← 987.99 m →
976 035 m²		 N 36.022447°
W128.660889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142593383789062 y=0.392593383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142593383789062 × 215)
    floor (0.142593383789062 × 32768)
    floor (4672.5)     		tx = 4672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.392593383789062 × 215)
    floor (0.392593383789062 × 32768)
    floor (12864.5)     		ty = 12864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4672 / 12864 ti = "15/4672/12864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4672/12864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4672 ÷ 215
    4672 ÷ 32768     		x = 0.142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12864 ÷ 215
    12864 ÷ 32768     		y = 0.392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142578125 × 2 - 1) × π
    -0.71484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24574787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.392578125 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24574787} λ = -2.24574787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.674951546650391))-π/2
    2×atan(1.96393781429889)-π/2
    2×1.09983085007737-π/2
    2.19966170015474-1.57079632675     		φ = 0.62886537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24574787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.62886537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.031332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4672 KachelY 12864 -2.24574787 0.62886537 -128.671875 36.031332
    Oben rechts KachelX + 1 4673 KachelY 12864 -2.24555613 0.62886537 -128.660889 36.031332
    Unten links KachelX 4672 KachelY + 1 12865 -2.24574787 0.62871030 -128.671875 36.022447
    Unten rechts KachelX + 1 4673 KachelY + 1 12865 -2.24555613 0.62871030 -128.660889 36.022447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.62886537-0.62871030) × R
    0.000155069999999924 × 6371000     		dl = 987.950969999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.62886537-0.62871030) × R
    0.000155069999999924 × 6371000     		dr = 987.950969999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24574787--2.24555613) × cos(0.62886537) × R
    0.000191739999999996 × 0.808695449364141 × 6371000     		do = 987.882580252522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24574787--2.24555613) × cos(0.62871030) × R
    0.000191739999999996 × 0.808786656089307 × 6371000     		du = 987.993996157068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.62886537)-sin(0.62871030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.808695449364141-0.808786656089307)×R²
    abs(-2.24555613--2.24574787)×9.12067251658266e-05×R²
    0.000191739999999996×9.12067251658266e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.12067251658266e-05×40589641000000     		ar = 976034.592087149m²