Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4676 / 4676
↖ ↑ ↗
← S 24.686952°
E 25.488281°		 ← 4 439.88 m → S 24.686952°
E 25.532227°		 →
↑
4 439.19 m
↓
↑
4 439.19 m
↓
S 24.726875°
E 25.488281°		 ← 4 438.46 m →
19 706 310 m²		 S 24.726875°
E 25.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57086181640625 y=0.57086181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57086181640625 × 213)
    floor (0.57086181640625 × 8192)
    floor (4676.5)     		tx = 4676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57086181640625 × 213)
    floor (0.57086181640625 × 8192)
    floor (4676.5)     		ty = 4676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4676 / 4676 ti = "13/4676/4676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4676/4676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4676 ÷ 213
    4676 ÷ 8192     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4676 ÷ 213
    4676 ÷ 8192     		y = 0.57080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.444854428474121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.444854428474121))-π/2
    2×atan(0.640917568590206)-π/2
    2×0.569963862466954-π/2
    1.13992772493391-1.57079632675     		φ = -0.43086860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43086860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.686952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4676 KachelY 4676 0.44485443 -0.43086860 25.488281 -24.686952
    Oben rechts KachelX + 1 4677 KachelY 4676 0.44562142 -0.43086860 25.532227 -24.686952
    Unten links KachelX 4676 KachelY + 1 4677 0.44485443 -0.43156538 25.488281 -24.726875
    Unten rechts KachelX + 1 4677 KachelY + 1 4677 0.44562142 -0.43156538 25.532227 -24.726875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43086860--0.43156538) × R
    0.000696780000000008 × 6371000     		dl = 4439.18538000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43086860--0.43156538) × R
    0.000696780000000008 × 6371000     		dr = 4439.18538000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44562142) × cos(-0.43086860) × R
    0.000766989999999967 × 0.90860331284959 × 6371000     		do = 4439.8839915111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44562142) × cos(-0.43156538) × R
    0.000766989999999967 × 0.908312075053467 × 6371000     		du = 4438.46085997455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43086860)-sin(-0.43156538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90860331284959-0.908312075053467)×R²
    abs(0.44562142-0.44485443)×0.000291237796122723×R²
    0.000766989999999967×0.000291237796122723×6371000²
    0.000766989999999967×0.000291237796122723×40589641000000     		ar = 19706310.1289441m²