Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4680 / 4680
↖ ↑ ↗
← S 24.846565°
E 25.664062°		 ← 4 434.18 m → S 24.846565°
E 25.708008°		 →
↑
4 433.52 m
↓
↑
4 433.52 m
↓
S 24.886437°
E 25.664062°		 ← 4 432.75 m →
19 655 841 m²		 S 24.886437°
E 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57135009765625 y=0.57135009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57135009765625 × 213)
    floor (0.57135009765625 × 8192)
    floor (4680.5)     		tx = 4680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57135009765625 × 213)
    floor (0.57135009765625 × 8192)
    floor (4680.5)     		ty = 4680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4680 / 4680 ti = "13/4680/4680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4680/4680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4680 ÷ 213
    4680 ÷ 8192     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4680 ÷ 213
    4680 ÷ 8192     		y = 0.5712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.447922390049805))-π/2
    2×atan(0.638954271316832)-π/2
    2×0.568570976834074-π/2
    1.13714195366815-1.57079632675     		φ = -0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4680 KachelY 4680 0.44792239 -0.43365437 25.664062 -24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 4681 KachelY 4680 0.44868938 -0.43365437 25.708008 -24.846565
    Unten links KachelX 4680 KachelY + 1 4681 0.44792239 -0.43435026 25.664062 -24.886437
    Unten rechts KachelX + 1 4681 KachelY + 1 4681 0.44868938 -0.43435026 25.708008 -24.886437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43365437--0.43435026) × R
    0.000695889999999977 × 6371000     		dl = 4433.51518999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43365437--0.43435026) × R
    0.000695889999999977 × 6371000     		dr = 4433.51518999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.44868938) × cos(-0.43365437) × R
    0.000766990000000023 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 4434.18131073236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.44868938) × cos(-0.43435026) × R
    0.000766990000000023 × 0.907143658051196 × 6371000     		du = 4432.75139813336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43365437)-sin(-0.43435026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.907143658051196)×R²
    abs(0.44868938-0.44792239)×0.000292625511618017×R²
    0.000766990000000023×0.000292625511618017×6371000²
    0.000766990000000023×0.000292625511618017×40589641000000     		ar = 19655841.219948m²