Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47103 / 79871
↖ ↑ ↗
← S 36.595684°
W 50.627747°		 ← 245.21 m → S 36.595684°
W 50.625000°		 →
↑
245.16 m
↓
↑
245.16 m
↓
S 36.597889°
W 50.627747°		 ← 245.21 m →
60 115 m²		 S 36.597889°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359371185302734 y=0.609371185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359371185302734 × 217)
    floor (0.359371185302734 × 131072)
    floor (47103.5)     		tx = 47103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609371185302734 × 217)
    floor (0.609371185302734 × 131072)
    floor (79871.5)     		ty = 79871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47103 / 79871 ti = "17/47103/79871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47103/79871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47103 ÷ 217
    47103 ÷ 131072     		x = 0.359367370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79871 ÷ 217
    79871 ÷ 131072     		y = 0.609367370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359367370605469 × 2 - 1) × π
    -0.281265258789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.88362087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609367370605469 × 2 - 1) × π
    -0.218734741210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.687175456053505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88362087} λ = -0.88362087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687175456053505))-π/2
    2×atan(0.50299479539986)-π/2
    2×0.46604057417118-π/2
    0.93208114834236-1.57079632675     		φ = -0.63871518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88362087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.627747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63871518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.595684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47103 KachelY 79871 -0.88362087 -0.63871518 -50.627747 -36.595684
    Oben rechts KachelX + 1 47104 KachelY 79871 -0.88357293 -0.63871518 -50.625000 -36.595684
    Unten links KachelX 47103 KachelY + 1 79872 -0.88362087 -0.63875366 -50.627747 -36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 47104 KachelY + 1 79872 -0.88357293 -0.63875366 -50.625000 -36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63871518--0.63875366) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dl = 245.156079999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63871518--0.63875366) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dr = 245.156079999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88362087--0.88357293) × cos(-0.63871518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.802862384285481 × 6371000     		do = 245.214837838397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88362087--0.88357293) × cos(-0.63875366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 245.207831066339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63871518)-sin(-0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802862384285481-0.802839443284969)×R²
    abs(-0.88357293--0.88362087)×2.29410005119224e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29410005119224e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29410005119224e-05×40589641000000     		ar = 60115.049533244m²