Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47104 / 75776
↖ ↑ ↗
← S 27.059126°
W 50.625000°		 ← 271.94 m → S 27.059126°
W 50.622254°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
S 27.061572°
W 50.625000°		 ← 271.93 m →
73 960 m²		 S 27.061572°
W 50.622254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359378814697266 y=0.578128814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359378814697266 × 217)
    floor (0.359378814697266 × 131072)
    floor (47104.5)     		tx = 47104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578128814697266 × 217)
    floor (0.578128814697266 × 131072)
    floor (75776.5)     		ty = 75776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47104 / 75776 ti = "17/47104/75776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47104/75776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47104 ÷ 217
    47104 ÷ 131072     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75776 ÷ 217
    75776 ÷ 131072     		y = 0.578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578125 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Φ = -0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490873852109375))-π/2
    2×atan(0.612091283155602)-π/2
    2×0.549262744579385-π/2
    1.09852548915877-1.57079632675     		φ = -0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47104 KachelY 75776 -0.88357293 -0.47227084 -50.625000 -27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 47105 KachelY 75776 -0.88352500 -0.47227084 -50.622254 -27.059126
    Unten links KachelX 47104 KachelY + 1 75777 -0.88357293 -0.47231353 -50.625000 -27.061572
    Unten rechts KachelX + 1 47105 KachelY + 1 75777 -0.88352500 -0.47231353 -50.622254 -27.061572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47227084--0.47231353) × R
    4.26899999999564e-05 × 6371000     		dl = 271.977989999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47227084--0.47231353) × R
    4.26899999999564e-05 × 6371000     		dr = 271.977989999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.88352500) × cos(-0.47227084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 271.936356504256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.88352500) × cos(-0.47231353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890518137098819 × 6371000     		du = 271.93042609648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47227084)-sin(-0.47231353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.890518137098819)×R²
    abs(-0.88352500--0.88357293)×1.94209076226359e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94209076226359e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94209076226359e-05×40589641000000     		ar = 73959.8971909019m²