Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47105 / 6145
↖ ↑ ↗
← N 81.092363°
E 78.755493°		 ← 94.58 m → N 81.092363°
E 78.760986°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 81.091513°
E 78.755493°		 ← 94.58 m →
8 948 m²		 N 81.091513°
E 78.760986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718772888183594 y=0.0937728881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718772888183594 × 216)
    floor (0.718772888183594 × 65536)
    floor (47105.5)     		tx = 47105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0937728881835938 × 216)
    floor (0.0937728881835938 × 65536)
    floor (6145.5)     		ty = 6145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47105 / 6145 ti = "16/47105/6145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47105/6145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47105 ÷ 216
    47105 ÷ 65536     		x = 0.718765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6145 ÷ 216
    6145 ÷ 65536     		y = 0.0937652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.718765258789062 × 2 - 1) × π
    0.437530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.37454266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0937652587890625 × 2 - 1) × π
    0.812469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55244815716951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37454266} λ = 1.37454266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55244815716951))-π/2
    2×atan(12.8384959964668)-π/2
    2×1.49306253247072-π/2
    2.98612506494144-1.57079632675     		φ = 1.41532874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37454266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41532874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.092363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47105 KachelY 6145 1.37454266 1.41532874 78.755493 81.092363
    Oben rechts KachelX + 1 47106 KachelY 6145 1.37463853 1.41532874 78.760986 81.092363
    Unten links KachelX 47105 KachelY + 1 6146 1.37454266 1.41531389 78.755493 81.091513
    Unten rechts KachelX + 1 47106 KachelY + 1 6146 1.37463853 1.41531389 78.760986 81.091513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41532874-1.41531389) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41532874-1.41531389) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37454266-1.37463853) × cos(1.41532874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154842063542672 × 6371000     		do = 94.575638693425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37454266-1.37463853) × cos(1.41531389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154856734423263 × 6371000     		du = 94.5845994878652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41532874)-sin(1.41531389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154842063542672-0.154856734423263)×R²
    abs(1.37463853-1.37454266)×1.46708805910944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46708805910944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46708805910944e-05×40589641000000     		ar = 8948.16359005409m²