Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47120 / 79888
↖ ↑ ↗
← S 36.633162°
W 50.581054°		 ← 245.04 m → S 36.633162°
W 50.578308°		 →
↑
245.09 m
↓
↑
245.09 m
↓
S 36.635366°
W 50.581054°		 ← 245.04 m →
60 058 m²		 S 36.635366°
W 50.578308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359500885009766 y=0.609500885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359500885009766 × 217)
    floor (0.359500885009766 × 131072)
    floor (47120.5)     		tx = 47120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609500885009766 × 217)
    floor (0.609500885009766 × 131072)
    floor (79888.5)     		ty = 79888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47120 / 79888 ti = "17/47120/79888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47120/79888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47120 ÷ 217
    47120 ÷ 131072     		x = 0.3594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79888 ÷ 217
    79888 ÷ 131072     		y = 0.6094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88280594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.218994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.687990383347046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88280594} λ = -0.88280594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687990383347046))-π/2
    2×atan(0.502585058188273)-π/2
    2×0.465713516412953-π/2
    0.931427032825905-1.57079632675     		φ = -0.63936929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88280594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.581054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63936929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.633162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47120 KachelY 79888 -0.88280594 -0.63936929 -50.581054 -36.633162
    Oben rechts KachelX + 1 47121 KachelY 79888 -0.88275801 -0.63936929 -50.578308 -36.633162
    Unten links KachelX 47120 KachelY + 1 79889 -0.88280594 -0.63940776 -50.581054 -36.635366
    Unten rechts KachelX + 1 47121 KachelY + 1 79889 -0.88275801 -0.63940776 -50.578308 -36.635366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63936929--0.63940776) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dl = 245.092370000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63936929--0.63940776) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dr = 245.092370000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88280594--0.88275801) × cos(-0.63936929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.802472255461265 × 6371000     		do = 245.04455694648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88280594--0.88275801) × cos(-0.63940776) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.802449300224985 × 6371000     		du = 245.037547288931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63936929)-sin(-0.63940776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802472255461265-0.802449300224985)×R²
    abs(-0.88275801--0.88280594)×2.29552362799312e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29552362799312e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29552362799312e-05×40589641000000     		ar = 60057.6922181498m²