Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47168 / 88128
↖ ↑ ↗
← S 52.589701°
W 50.449219°		 ← 185.51 m → S 52.589701°
W 50.446472°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
S 52.591369°
W 50.449219°		 ← 185.51 m →
34 416 m²		 S 52.591369°
W 50.446472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359867095947266 y=0.672367095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359867095947266 × 217)
    floor (0.359867095947266 × 131072)
    floor (47168.5)     		tx = 47168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672367095947266 × 217)
    floor (0.672367095947266 × 131072)
    floor (88128.5)     		ty = 88128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47168 / 88128 ti = "17/47168/88128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47168/88128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47168 ÷ 217
    47168 ÷ 131072     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88128 ÷ 217
    88128 ÷ 131072     		y = 0.67236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08299043621631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08299043621631))-π/2
    2×atan(0.338581503825616)-π/2
    2×0.326466447880492-π/2
    0.652932895760983-1.57079632675     		φ = -0.91786343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91786343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.589701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47168 KachelY 88128 -0.88050497 -0.91786343 -50.449219 -52.589701
    Oben rechts KachelX + 1 47169 KachelY 88128 -0.88045704 -0.91786343 -50.446472 -52.589701
    Unten links KachelX 47168 KachelY + 1 88129 -0.88050497 -0.91789255 -50.449219 -52.591369
    Unten rechts KachelX + 1 47169 KachelY + 1 88129 -0.88045704 -0.91789255 -50.446472 -52.591369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91786343--0.91789255) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91786343--0.91789255) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.88045704) × cos(-0.91786343) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607518631140303 × 6371000     		do = 185.513122467938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.88045704) × cos(-0.91789255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607495500708666 × 6371000     		du = 185.506059312378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91786343)-sin(-0.91789255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607518631140303-0.607495500708666)×R²
    abs(-0.88045704--0.88050497)×2.31304316378189e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31304316378189e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31304316378189e-05×40589641000000     		ar = 34416.3922983208m²