Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 472 / 88
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E151.875000°		 ← 19.579 km → N 75.497157°
E152.578125°		 →
↑
19.696 km
↓
↑
19.696 km
↓
N 75.320025°
E151.875000°		 ← 19.813 km →
387.945 km²		 N 75.320025°
E152.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9228515625 y=0.1728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9228515625 × 29)
    floor (0.9228515625 × 512)
    floor (472.5)     		tx = 472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1728515625 × 29)
    floor (0.1728515625 × 512)
    floor (88.5)     		ty = 88
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 472 / 88 ti = "9/472/88"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/472/88.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 472 ÷ 29
    472 ÷ 512     		x = 0.921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88 ÷ 29
    88 ÷ 512     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921875 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65071880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65071880} λ = 2.65071880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65071880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 472 KachelY 88 2.65071880 1.31767397 151.875000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 473 KachelY 88 2.66299065 1.31767397 152.578125 75.497157
    Unten links KachelX 472 KachelY + 1 89 2.65071880 1.31458243 151.875000 75.320025
    Unten rechts KachelX + 1 473 KachelY + 1 89 2.66299065 1.31458243 152.578125 75.320025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31458243) × R
    0.00309154 × 6371000     		dl = 19696.20134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31458243) × R
    0.00309154 × 6371000     		dr = 19696.20134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65071880-2.66299065) × cos(1.31767397) × R
    0.0122718499999999 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 19579.4548417671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65071880-2.66299065) × cos(1.31458243) × R
    0.0122718499999999 × 0.25341986587156 × 6371000     		du = 19813.3677315247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31458243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.25341986587156)×R²
    abs(2.66299065-2.65071880)×0.00299182723256453×R²
    0.0122718499999999×0.00299182723256453×6371000²
    0.0122718499999999×0.00299182723256453×40589641000000     		ar = 387944791.363007m²