Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4736 / 640
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
E 28.125000°		 ← 686.56 m → N 81.923187°
E 28.168945°		 →
↑
686.86 m
↓
↑
686.86 m
↓
N 81.917010°
E 28.125000°		 ← 687.08 m →
471 745 m²		 N 81.917010°
E 28.168945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57818603515625 y=0.07818603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57818603515625 × 213)
    floor (0.57818603515625 × 8192)
    floor (4736.5)     		tx = 4736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07818603515625 × 213)
    floor (0.07818603515625 × 8192)
    floor (640.5)     		ty = 640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4736 / 640 ti = "13/4736/640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4736/640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4736 ÷ 213
    4736 ÷ 8192     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 640 ÷ 213
    640 ÷ 8192     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4736 KachelY 640 0.49087385 1.42982934 28.125000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 4737 KachelY 640 0.49164084 1.42982934 28.168945 81.923187
    Unten links KachelX 4736 KachelY + 1 641 0.49087385 1.42972153 28.125000 81.917010
    Unten rechts KachelX + 1 4737 KachelY + 1 641 0.49164084 1.42972153 28.168945 81.917010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42972153) × R
    0.000107810000000041 × 6371000     		dl = 686.857510000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42972153) × R
    0.000107810000000041 × 6371000     		dr = 686.857510000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.49164084) × cos(1.42982934) × R
    0.000766990000000023 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 686.555117206452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.49164084) × cos(1.42972153) × R
    0.000766990000000023 × 0.140607314819045 × 6371000     		du = 687.076700388203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42972153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.140607314819045)×R²
    abs(0.49164084-0.49087385)×0.000106739772429171×R²
    0.000766990000000023×0.000106739772429171×6371000²
    0.000766990000000023×0.000106739772429171×40589641000000     		ar = 471744.665402331m²