Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 48 / 79
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 45.000000°		 ← 243.650 km → S 38.822591°
W 42.187500°		 →
↑
239.882 km
↓
↑
239.882 km
↓
S 40.979898°
W 45.000000°		 ← 236.097 km →
57 547.9 km²		 S 40.979898°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37890625 y=0.62109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37890625 × 27)
    floor (0.37890625 × 128)
    floor (48.5)     		tx = 48
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62109375 × 27)
    floor (0.62109375 × 128)
    floor (79.5)     		ty = 79
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 48 / 79 ti = "7/48/79"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/48/79.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48 ÷ 27
    48 ÷ 128     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79 ÷ 27
    79 ÷ 128     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48 KachelY 79 -0.78539816 -0.67758204 -45.000000 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 49 KachelY 79 -0.73631078 -0.67758204 -42.187500 -38.822591
    Unten links KachelX 48 KachelY + 1 80 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 49 KachelY + 1 80 -0.73631078 -0.71523415 -42.187500 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.71523415) × R
    0.03765211 × 6371000     		dl = 239881.59281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.71523415) × R
    0.03765211 × 6371000     		dr = 239881.59281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.73631078) × cos(-0.67758204) × R
    0.0490873799999999 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 243649.517824725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.73631078) × cos(-0.71523415) × R
    0.0490873799999999 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 236096.596418932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.754939707695381)×R²
    abs(-0.73631078--0.78539816)×0.0241511329041711×R²
    0.0490873799999999×0.0241511329041711×6371000²
    0.0490873799999999×0.0241511329041711×40589641000000     		ar = 57547929894.3255m²