Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48136 / 80904
↖ ↑ ↗
← S 38.839708°
W 47.790527°		 ← 237.85 m → S 38.839708°
W 47.787781°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
S 38.841847°
W 47.790527°		 ← 237.84 m →
56 581 m²		 S 38.841847°
W 47.787781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367252349853516 y=0.617252349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367252349853516 × 217)
    floor (0.367252349853516 × 131072)
    floor (48136.5)     		tx = 48136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617252349853516 × 217)
    floor (0.617252349853516 × 131072)
    floor (80904.5)     		ty = 80904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48136 / 80904 ti = "17/48136/80904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48136/80904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48136 ÷ 217
    48136 ÷ 131072     		x = 0.36724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80904 ÷ 217
    80904 ÷ 131072     		y = 0.61724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.736694273361023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83410205} λ = -0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736694273361023))-π/2
    2×atan(0.4786937334859)-π/2
    2×0.446457774221513-π/2
    0.892915548443025-1.57079632675     		φ = -0.67788078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67788078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.839708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48136 KachelY 80904 -0.83410205 -0.67788078 -47.790527 -38.839708
    Oben rechts KachelX + 1 48137 KachelY 80904 -0.83405412 -0.67788078 -47.787781 -38.839708
    Unten links KachelX 48136 KachelY + 1 80905 -0.83410205 -0.67791812 -47.790527 -38.841847
    Unten rechts KachelX + 1 48137 KachelY + 1 80905 -0.83405412 -0.67791812 -47.787781 -38.841847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67788078--0.67791812) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67788078--0.67791812) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83410205--0.83405412) × cos(-0.67788078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778903522430651 × 6371000     		do = 237.84756078372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83410205--0.83405412) × cos(-0.67791812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778880104339446 × 6371000     		du = 237.84040978785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67788078)-sin(-0.67791812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778903522430651-0.778880104339446)×R²
    abs(-0.83405412--0.83410205)×2.34180912055404e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34180912055404e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34180912055404e-05×40589641000000     		ar = 56581.4524963487m²