Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48648 / 81416
↖ ↑ ↗
← S 39.926589°
W 46.384277°		 ← 234.22 m → S 39.926589°
W 46.381531°		 →
↑
234.20 m
↓
↑
234.20 m
↓
S 39.928695°
W 46.384277°		 ← 234.21 m →
54 853 m²		 S 39.928695°
W 46.381531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371158599853516 y=0.621158599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371158599853516 × 217)
    floor (0.371158599853516 × 131072)
    floor (48648.5)     		tx = 48648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621158599853516 × 217)
    floor (0.621158599853516 × 131072)
    floor (81416.5)     		ty = 81416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48648 / 81416 ti = "17/48648/81416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48648/81416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48648 ÷ 217
    48648 ÷ 131072     		x = 0.37115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81416 ÷ 217
    81416 ÷ 131072     		y = 0.62115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.2576904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80955836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.761237965966492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80955836} λ = -0.80955836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761237965966492))-π/2
    2×atan(0.467087830105133)-π/2
    2×0.436972949880308-π/2
    0.873945899760615-1.57079632675     		φ = -0.69685043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80955836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69685043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.926589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48648 KachelY 81416 -0.80955836 -0.69685043 -46.384277 -39.926589
    Oben rechts KachelX + 1 48649 KachelY 81416 -0.80951042 -0.69685043 -46.381531 -39.926589
    Unten links KachelX 48648 KachelY + 1 81417 -0.80955836 -0.69688719 -46.384277 -39.928695
    Unten rechts KachelX + 1 48649 KachelY + 1 81417 -0.80951042 -0.69688719 -46.381531 -39.928695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69685043--0.69688719) × R
    3.6759999999969e-05 × 6371000     		dl = 234.197959999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69685043--0.69688719) × R
    3.6759999999969e-05 × 6371000     		dr = 234.197959999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80955836--0.80951042) × cos(-0.69685043) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766867399096869 × 6371000     		do = 234.221042851425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80955836--0.80951042) × cos(-0.69688719) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766843805805915 × 6371000     		du = 234.213836853077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69685043)-sin(-0.69688719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766867399096869-0.766843805805915)×R²
    abs(-0.80951042--0.80955836)×2.35932909531389e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35932909531389e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35932909531389e-05×40589641000000     		ar = 54853.2466159837m²