Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48648 / 82440
↖ ↑ ↗
← S 42.049292°
W 46.384277°		 ← 226.80 m → S 42.049292°
W 46.381531°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 42.051332°
W 46.384277°		 ← 226.79 m →
51 439 m²		 S 42.051332°
W 46.381531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371158599853516 y=0.628971099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371158599853516 × 217)
    floor (0.371158599853516 × 131072)
    floor (48648.5)     		tx = 48648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628971099853516 × 217)
    floor (0.628971099853516 × 131072)
    floor (82440.5)     		ty = 82440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48648 / 82440 ti = "17/48648/82440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48648/82440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48648 ÷ 217
    48648 ÷ 131072     		x = 0.37115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82440 ÷ 217
    82440 ÷ 131072     		y = 0.62896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.2576904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80955836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.810325351177429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80955836} λ = -0.80955836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810325351177429))-π/2
    2×atan(0.44471335466962)-π/2
    2×0.418448861066198-π/2
    0.836897722132395-1.57079632675     		φ = -0.73389860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80955836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73389860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.049292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48648 KachelY 82440 -0.80955836 -0.73389860 -46.384277 -42.049292
    Oben rechts KachelX + 1 48649 KachelY 82440 -0.80951042 -0.73389860 -46.381531 -42.049292
    Unten links KachelX 48648 KachelY + 1 82441 -0.80955836 -0.73393420 -46.384277 -42.051332
    Unten rechts KachelX + 1 48649 KachelY + 1 82441 -0.80951042 -0.73393420 -46.381531 -42.051332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73389860--0.73393420) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dl = 226.807600000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73389860--0.73393420) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dr = 226.807600000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80955836--0.80951042) × cos(-0.73389860) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.742568887995514 × 6371000     		do = 226.799652117383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80955836--0.80951042) × cos(-0.73393420) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.742545043723766 × 6371000     		du = 226.79236946304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73389860)-sin(-0.73393420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742568887995514-0.742545043723766)×R²
    abs(-0.80951042--0.80955836)×2.38442717475085e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38442717475085e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38442717475085e-05×40589641000000     		ar = 51439.0589023083m²