Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 49 / 15
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
E 95.625000°		 ← 227.645 km → N 68.656555°
E101.250000°		 →
↑
238.324 km
↓
↑
238.324 km
↓
N 66.513260°
E 95.625000°		 ← 249.273 km →
56 837.1 km²		 N 66.513260°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7734375 y=0.2421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7734375 × 26)
    floor (0.7734375 × 64)
    floor (49.5)     		tx = 49
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2421875 × 26)
    floor (0.2421875 × 64)
    floor (15.5)     		ty = 15
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 49 / 15 ti = "6/49/15"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/49/15.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49 ÷ 26
    49 ÷ 64     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15 ÷ 26
    15 ÷ 64     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49 KachelY 15 1.66897110 1.19828294 95.625000 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 50 KachelY 15 1.76714587 1.19828294 101.250000 68.656555
    Unten links KachelX 49 KachelY + 1 16 1.66897110 1.16087539 95.625000 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 50 KachelY + 1 16 1.76714587 1.16087539 101.250000 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.16087539) × R
    0.03740755 × 6371000     		dl = 238323.50105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.16087539) × R
    0.03740755 × 6371000     		dr = 238323.50105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.76714587) × cos(1.19828294) × R
    0.09817477 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 227645.082920262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.76714587) × cos(1.16087539) × R
    0.09817477 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 249273.404177691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.398536816226928)×R²
    abs(1.76714587-1.66897110)×0.0345792296723502×R²
    0.09817477×0.0345792296723502×6371000²
    0.09817477×0.0345792296723502×40589641000000     		ar = 56837069728.3271m²