Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 49 / 81
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
W 42.187500°		 ← 228.464 km → S 43.068888°
W 39.375000°		 →
↑
224.630 km
↓
↑
224.630 km
↓
S 45.089036°
W 42.187500°		 ← 220.794 km →
50 463.6 km²		 S 45.089036°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38671875 y=0.63671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38671875 × 27)
    floor (0.38671875 × 128)
    floor (49.5)     		tx = 49
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63671875 × 27)
    floor (0.63671875 × 128)
    floor (81.5)     		ty = 81
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 49 / 81 ti = "7/49/81"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/49/81.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49 ÷ 27
    49 ÷ 128     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81 ÷ 27
    81 ÷ 128     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49 KachelY 81 -0.73631078 -0.75169390 -42.187500 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 50 KachelY 81 -0.68722339 -0.75169390 -39.375000 -43.068888
    Unten links KachelX 49 KachelY + 1 82 -0.73631078 -0.78695213 -42.187500 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 50 KachelY + 1 82 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.78695213) × R
    0.0352582299999999 × 6371000     		dl = 224630.18333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.78695213) × R
    0.0352582299999999 × 6371000     		dr = 224630.18333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.68722339) × cos(-0.75169390) × R
    0.0490873900000001 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 228463.854181846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.68722339) × cos(-0.78695213) × R
    0.0490873900000001 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 220793.67053555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.706007107541517)×R²
    abs(-0.68722339--0.73631078)×0.0245260842726983×R²
    0.0490873900000001×0.0245260842726983×6371000²
    0.0490873900000001×0.0245260842726983×40589641000000     		ar = 50463627969.385m²