Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49023 / 81793
↖ ↑ ↗
← S 40.716038°
W 45.354309°		 ← 231.45 m → S 40.716038°
W 45.351563°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 40.718119°
W 45.354309°		 ← 231.44 m →
53 570 m²		 S 40.718119°
W 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374019622802734 y=0.624034881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374019622802734 × 217)
    floor (0.374019622802734 × 131072)
    floor (49023.5)     		tx = 49023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624034881591797 × 217)
    floor (0.624034881591797 × 131072)
    floor (81793.5)     		ty = 81793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49023 / 81793 ti = "17/49023/81793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49023/81793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49023 ÷ 217
    49023 ÷ 131072     		x = 0.374015808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81793 ÷ 217
    81793 ÷ 131072     		y = 0.624031066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374015808105469 × 2 - 1) × π
    -0.251968383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.79158202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624031066894531 × 2 - 1) × π
    -0.248062133789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.779310177123253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79158202} λ = -0.79158202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779310177123253))-π/2
    2×atan(0.458722339351278)-π/2
    2×0.430083705852595-π/2
    0.86016741170519-1.57079632675     		φ = -0.71062892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79158202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.354309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71062892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.716038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49023 KachelY 81793 -0.79158202 -0.71062892 -45.354309 -40.716038
    Oben rechts KachelX + 1 49024 KachelY 81793 -0.79153409 -0.71062892 -45.351563 -40.716038
    Unten links KachelX 49023 KachelY + 1 81794 -0.79158202 -0.71066525 -45.354309 -40.718119
    Unten rechts KachelX + 1 49024 KachelY + 1 81794 -0.79153409 -0.71066525 -45.351563 -40.718119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71062892--0.71066525) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dl = 231.458430000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71062892--0.71066525) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dr = 231.458430000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79158202--0.79153409) × cos(-0.71062892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7579517747409 × 6371000     		do = 231.449692577126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79158202--0.79153409) × cos(-0.71066525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757928075796935 × 6371000     		du = 231.442455819488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71062892)-sin(-0.71066525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7579517747409-0.757928075796935)×R²
    abs(-0.79153409--0.79158202)×2.36989439653668e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36989439653668e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36989439653668e-05×40589641000000     		ar = 53570.1449695109m²