Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49024 / 115072
↖ ↑ ↗
← S 79.367701°
W 45.351563°		 ← 56.35 m → S 79.367701°
W 45.348816°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.368207°
W 45.351563°		 ← 56.35 m →
3 174 m²		 S 79.368207°
W 45.348816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374027252197266 y=0.877933502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374027252197266 × 217)
    floor (0.374027252197266 × 131072)
    floor (49024.5)     		tx = 49024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877933502197266 × 217)
    floor (0.877933502197266 × 131072)
    floor (115072.5)     		ty = 115072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49024 / 115072 ti = "17/49024/115072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49024/115072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49024 ÷ 217
    49024 ÷ 131072     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115072 ÷ 217
    115072 ÷ 131072     		y = 0.8779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8779296875 × 2 - 1) × π
    -0.755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3746022595791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3746022595791))-π/2
    2×atan(0.0930514921910545)-π/2
    2×0.0927843142499606-π/2
    0.185568628499921-1.57079632675     		φ = -1.38522770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38522770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.367701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49024 KachelY 115072 -0.79153409 -1.38522770 -45.351563 -79.367701
    Oben rechts KachelX + 1 49025 KachelY 115072 -0.79148615 -1.38522770 -45.348816 -79.367701
    Unten links KachelX 49024 KachelY + 1 115073 -0.79153409 -1.38523654 -45.351563 -79.368207
    Unten rechts KachelX + 1 49025 KachelY + 1 115073 -0.79148615 -1.38523654 -45.348816 -79.368207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38522770--1.38523654) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38522770--1.38523654) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.79148615) × cos(-1.38522770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184505427649398 × 6371000     		do = 56.3527067737968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.79148615) × cos(-1.38523654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184496739411775 × 6371000     		du = 56.3500531623915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38522770)-sin(-1.38523654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184505427649398-0.184496739411775)×R²
    abs(-0.79148615--0.79153409)×8.68823762306681e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.68823762306681e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.68823762306681e-06×40589641000000     		ar = 3173.68943327423m²