Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49024 / 16256
↖ ↑ ↗
← N 66.791909°
E 89.296875°		 ← 240.69 m → N 66.791909°
E 89.302368°		 →
↑
240.70 m
↓
↑
240.70 m
↓
N 66.789745°
E 89.296875°		 ← 240.72 m →
57 937 m²		 N 66.789745°
E 89.302368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748054504394531 y=0.248054504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748054504394531 × 216)
    floor (0.748054504394531 × 65536)
    floor (49024.5)     		tx = 49024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248054504394531 × 216)
    floor (0.248054504394531 × 65536)
    floor (16256.5)     		ty = 16256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49024 / 16256 ti = "16/49024/16256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49024/16256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49024 ÷ 216
    49024 ÷ 65536     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16256 ÷ 216
    16256 ÷ 65536     		y = 0.248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248046875 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58306817305273))-π/2
    2×atan(4.86987453073291)-π/2
    2×1.3682675303911-π/2
    2.7365350607822-1.57079632675     		φ = 1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49024 KachelY 16256 1.55852448 1.16573873 89.296875 66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 49025 KachelY 16256 1.55862035 1.16573873 89.302368 66.791909
    Unten links KachelX 49024 KachelY + 1 16257 1.55852448 1.16570095 89.296875 66.789745
    Unten rechts KachelX + 1 49025 KachelY + 1 16257 1.55862035 1.16570095 89.302368 66.789745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16573873-1.16570095) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dl = 240.696379999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16573873-1.16570095) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dr = 240.696379999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.55862035) × cos(1.16573873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 240.694173073161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.55862035) × cos(1.16570095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394106419619329 × 6371000     		du = 240.715381181969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16573873)-sin(1.16570095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.394106419619329)×R²
    abs(1.55862035-1.55852448)×3.47225498766313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47225498766313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47225498766313e-05×40589641000000     		ar = 57936.7685103848m²