Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49028 / 81796
↖ ↑ ↗
← S 40.722283°
W 45.340576°		 ← 231.48 m → S 40.722283°
W 45.337829°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 40.724364°
W 45.340576°		 ← 231.47 m →
53 576 m²		 S 40.724364°
W 45.337829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374057769775391 y=0.624057769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374057769775391 × 217)
    floor (0.374057769775391 × 131072)
    floor (49028.5)     		tx = 49028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624057769775391 × 217)
    floor (0.624057769775391 × 131072)
    floor (81796.5)     		ty = 81796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49028 / 81796 ti = "17/49028/81796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49028/81796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49028 ÷ 217
    49028 ÷ 131072     		x = 0.374053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81796 ÷ 217
    81796 ÷ 131072     		y = 0.624053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.25189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79134234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.24810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.779453987822113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79134234} λ = -0.79134234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779453987822113))-π/2
    2×atan(0.458656374914382)-π/2
    2×0.430029207621517-π/2
    0.860058415243035-1.57079632675     		φ = -0.71073791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79134234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71073791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.722283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49028 KachelY 81796 -0.79134234 -0.71073791 -45.340576 -40.722283
    Oben rechts KachelX + 1 49029 KachelY 81796 -0.79129440 -0.71073791 -45.337829 -40.722283
    Unten links KachelX 49028 KachelY + 1 81797 -0.79134234 -0.71077424 -45.340576 -40.724364
    Unten rechts KachelX + 1 49029 KachelY + 1 81797 -0.79129440 -0.71077424 -45.337829 -40.724364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71073791--0.71077424) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dl = 231.458430000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71073791--0.71077424) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dr = 231.458430000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79134234--0.79129440) × cos(-0.71073791) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.757880674907939 × 6371000     		do = 231.476265965841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79134234--0.79129440) × cos(-0.71077424) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.75785697296297 × 6371000     		du = 231.469026781759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71073791)-sin(-0.71077424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757880674907939-0.75785697296297)×R²
    abs(-0.79129440--0.79134234)×2.37019449685905e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37019449685905e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37019449685905e-05×40589641000000     		ar = 53576.2953234212m²