Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49056 / 82336
↖ ↑ ↗
← S 41.836828°
W 45.263672°		 ← 227.56 m → S 41.836828°
W 45.260925°		 →
↑
227.57 m
↓
↑
227.57 m
↓
S 41.838874°
W 45.263672°		 ← 227.55 m →
51 785 m²		 S 41.838874°
W 45.260925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374271392822266 y=0.628177642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374271392822266 × 217)
    floor (0.374271392822266 × 131072)
    floor (49056.5)     		tx = 49056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628177642822266 × 217)
    floor (0.628177642822266 × 131072)
    floor (82336.5)     		ty = 82336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49056 / 82336 ti = "17/49056/82336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49056/82336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49056 ÷ 217
    49056 ÷ 131072     		x = 0.374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82336 ÷ 217
    82336 ÷ 131072     		y = 0.628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805339913616943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79000011} λ = -0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805339913616943))-π/2
    2×atan(0.446935981110774)-π/2
    2×0.420302966026131-π/2
    0.840605932052262-1.57079632675     		φ = -0.73019039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73019039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.836828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49056 KachelY 82336 -0.79000011 -0.73019039 -45.263672 -41.836828
    Oben rechts KachelX + 1 49057 KachelY 82336 -0.78995217 -0.73019039 -45.260925 -41.836828
    Unten links KachelX 49056 KachelY + 1 82337 -0.79000011 -0.73022611 -45.263672 -41.838874
    Unten rechts KachelX + 1 49057 KachelY + 1 82337 -0.78995217 -0.73022611 -45.260925 -41.838874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73019039--0.73022611) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dl = 227.572120000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73019039--0.73022611) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dr = 227.572120000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79000011--0.78995217) × cos(-0.73019039) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.745047423530157 × 6371000     		do = 227.556660667169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79000011--0.78995217) × cos(-0.73022611) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.745023597404191 × 6371000     		du = 227.549383555015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73019039)-sin(-0.73022611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745047423530157-0.745023597404191)×R²
    abs(-0.78995217--0.79000011)×2.38261259658534e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38261259658534e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38261259658534e-05×40589641000000     		ar = 51784.7236597629m²