Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49088 / 81855
↖ ↑ ↗
← S 40.844983°
W 45.175781°		 ← 231 m → S 40.844983°
W 45.173035°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
S 40.847060°
W 45.175781°		 ← 230.99 m →
53 363 m²		 S 40.847060°
W 45.173035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374515533447266 y=0.624507904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374515533447266 × 217)
    floor (0.374515533447266 × 131072)
    floor (49088.5)     		tx = 49088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624507904052734 × 217)
    floor (0.624507904052734 × 131072)
    floor (81855.5)     		ty = 81855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49088 / 81855 ti = "17/49088/81855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49088/81855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49088 ÷ 217
    49088 ÷ 131072     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81855 ÷ 217
    81855 ÷ 131072     		y = 0.624504089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624504089355469 × 2 - 1) × π
    -0.249008178710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.782282264899696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782282264899696))-π/2
    2×atan(0.457361000305373)-π/2
    2×0.428958448331186-π/2
    0.857916896662372-1.57079632675     		φ = -0.71287943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71287943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.844983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49088 KachelY 81855 -0.78846612 -0.71287943 -45.175781 -40.844983
    Oben rechts KachelX + 1 49089 KachelY 81855 -0.78841819 -0.71287943 -45.173035 -40.844983
    Unten links KachelX 49088 KachelY + 1 81856 -0.78846612 -0.71291569 -45.175781 -40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 49089 KachelY + 1 81856 -0.78841819 -0.71291569 -45.173035 -40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71287943--0.71291569) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71287943--0.71291569) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78841819) × cos(-0.71287943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756481825037431 × 6371000     		do = 231.000825751676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78841819) × cos(-0.71291569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 230.993584069487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71287943)-sin(-0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756481825037431-0.756458109966538)×R²
    abs(-0.78841819--0.78846612)×2.3715070893604e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3715070893604e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3715070893604e-05×40589641000000     		ar = 53363.2325653933m²