Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49089 / 82111
↖ ↑ ↗
← S 41.374747°
W 45.173035°		 ← 229.19 m → S 41.374747°
W 45.170288°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
S 41.376808°
W 45.173035°		 ← 229.18 m →
52 522 m²		 S 41.376808°
W 45.170288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374523162841797 y=0.626461029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374523162841797 × 217)
    floor (0.374523162841797 × 131072)
    floor (49089.5)     		tx = 49089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626461029052734 × 217)
    floor (0.626461029052734 × 131072)
    floor (82111.5)     		ty = 82111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49089 / 82111 ti = "17/49089/82111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49089/82111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49089 ÷ 217
    49089 ÷ 131072     		x = 0.374519348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82111 ÷ 217
    82111 ÷ 131072     		y = 0.626457214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374519348144531 × 2 - 1) × π
    -0.250961303710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78841819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626457214355469 × 2 - 1) × π
    -0.252914428710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.794554111202431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78841819} λ = -0.78841819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794554111202431))-π/2
    2×atan(0.451782634834082)-π/2
    2×0.424335377385326-π/2
    0.848670754770652-1.57079632675     		φ = -0.72212557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78841819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.173035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72212557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.374747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49089 KachelY 82111 -0.78841819 -0.72212557 -45.173035 -41.374747
    Oben rechts KachelX + 1 49090 KachelY 82111 -0.78837025 -0.72212557 -45.170288 -41.374747
    Unten links KachelX 49089 KachelY + 1 82112 -0.78841819 -0.72216154 -45.173035 -41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 49090 KachelY + 1 82112 -0.78837025 -0.72216154 -45.170288 -41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72212557--0.72216154) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dl = 229.164869999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72212557--0.72216154) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dr = 229.164869999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78841819--0.78837025) × cos(-0.72212557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750402463572604 × 6371000     		do = 229.192227734335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78841819--0.78837025) × cos(-0.72216154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 229.184965938325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72212557)-sin(-0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750402463572604-0.750378687593506)×R²
    abs(-0.78837025--0.78841819)×2.37759790983061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37759790983061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37759790983061e-05×40589641000000     		ar = 52521.975005176m²