Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49090 / 82114
↖ ↑ ↗
← S 41.380930°
W 45.170288°		 ← 229.17 m → S 41.380930°
W 45.167541°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
S 41.382991°
W 45.170288°		 ← 229.16 m →
52 517 m²		 S 41.382991°
W 45.167541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374530792236328 y=0.626483917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374530792236328 × 217)
    floor (0.374530792236328 × 131072)
    floor (49090.5)     		tx = 49090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626483917236328 × 217)
    floor (0.626483917236328 × 131072)
    floor (82114.5)     		ty = 82114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49090 / 82114 ti = "17/49090/82114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49090/82114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49090 ÷ 217
    49090 ÷ 131072     		x = 0.374526977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82114 ÷ 217
    82114 ÷ 131072     		y = 0.626480102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.250946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78837025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626480102539062 × 2 - 1) × π
    -0.252960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.794697921901291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78837025} λ = -0.78837025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794697921901291))-π/2
    2×atan(0.451717668329185)-π/2
    2×0.424281421998608-π/2
    0.848562843997215-1.57079632675     		φ = -0.72223348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78837025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72223348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.380930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49090 KachelY 82114 -0.78837025 -0.72223348 -45.170288 -41.380930
    Oben rechts KachelX + 1 49091 KachelY 82114 -0.78832231 -0.72223348 -45.167541 -41.380930
    Unten links KachelX 49090 KachelY + 1 82115 -0.78837025 -0.72226945 -45.170288 -41.382991
    Unten rechts KachelX + 1 49091 KachelY + 1 82115 -0.78832231 -0.72226945 -45.167541 -41.382991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72223348--0.72226945) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dl = 229.164869999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72223348--0.72226945) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dr = 229.164869999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78837025--0.78832231) × cos(-0.72223348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750331132722728 × 6371000     		do = 229.170441457258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78837025--0.78832231) × cos(-0.72226945) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.75030735383111 × 6371000     		du = 229.163178771689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72223348)-sin(-0.72226945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750331132722728-0.75030735383111)×R²
    abs(-0.78832231--0.78837025)×2.3778891617865e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3778891617865e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3778891617865e-05×40589641000000     		ar = 52516.9822537814m²