Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49092 / 81860
↖ ↑ ↗
← S 40.855370°
W 45.164795°		 ← 231.01 m → S 40.855370°
W 45.162048°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
S 40.857448°
W 45.164795°		 ← 231.01 m →
53 366 m²		 S 40.857448°
W 45.162048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374546051025391 y=0.624546051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374546051025391 × 217)
    floor (0.374546051025391 × 131072)
    floor (49092.5)     		tx = 49092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624546051025391 × 217)
    floor (0.624546051025391 × 131072)
    floor (81860.5)     		ty = 81860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49092 / 81860 ti = "17/49092/81860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49092/81860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49092 ÷ 217
    49092 ÷ 131072     		x = 0.374542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81860 ÷ 217
    81860 ÷ 131072     		y = 0.624542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.25091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78827438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.24908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.782521949397797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78827438} λ = -0.78827438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782521949397797))-π/2
    2×atan(0.457251391099902)-π/2
    2×0.428867796953728-π/2
    0.857735593907456-1.57079632675     		φ = -0.71306073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78827438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71306073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.855370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49092 KachelY 81860 -0.78827438 -0.71306073 -45.164795 -40.855370
    Oben rechts KachelX + 1 49093 KachelY 81860 -0.78822644 -0.71306073 -45.162048 -40.855370
    Unten links KachelX 49092 KachelY + 1 81861 -0.78827438 -0.71309699 -45.164795 -40.857448
    Unten rechts KachelX + 1 49093 KachelY + 1 81861 -0.78822644 -0.71309699 -45.162048 -40.857448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71306073--0.71309699) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71306073--0.71309699) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78827438--0.78822644) × cos(-0.71306073) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.756363239737458 × 6371000     		do = 231.012802205994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78827438--0.78822644) × cos(-0.71309699) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.756339519693968 × 6371000     		du = 231.005557494158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71306073)-sin(-0.71309699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756363239737458-0.756339519693968)×R²
    abs(-0.78822644--0.78827438)×2.37200434904938e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37200434904938e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37200434904938e-05×40589641000000     		ar = 53365.9989256077m²