Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49120 / 49184
↖ ↑ ↗
← S 66.583217°
E 89.824219°		 ← 242.74 m → S 66.583217°
E 89.829712°		 →
↑
242.74 m
↓
↑
242.74 m
↓
S 66.585400°
E 89.824219°		 ← 242.72 m →
58 918 m²		 S 66.585400°
E 89.829712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749519348144531 y=0.750495910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749519348144531 × 216)
    floor (0.749519348144531 × 65536)
    floor (49120.5)     		tx = 49120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750495910644531 × 216)
    floor (0.750495910644531 × 65536)
    floor (49184.5)     		ty = 49184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49120 / 49184 ti = "16/49120/49184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49120/49184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49120 ÷ 216
    49120 ÷ 65536     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49184 ÷ 216
    49184 ÷ 65536     		y = 0.75048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57386428832568))-π/2
    2×atan(0.207242787129374)-π/2
    2×0.20434997955125-π/2
    0.408699959102499-1.57079632675     		φ = -1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49120 KachelY 49184 1.56772837 -1.16209637 89.824219 -66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 49121 KachelY 49184 1.56782424 -1.16209637 89.829712 -66.583217
    Unten links KachelX 49120 KachelY + 1 49185 1.56772837 -1.16213447 89.824219 -66.585400
    Unten rechts KachelX + 1 49121 KachelY + 1 49185 1.56782424 -1.16213447 89.829712 -66.585400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16209637--1.16213447) × R
    3.81000000000409e-05 × 6371000     		dl = 242.73510000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16209637--1.16213447) × R
    3.81000000000409e-05 × 6371000     		dr = 242.73510000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.56782424) × cos(-1.16209637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 242.737256764886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.56782424) × cos(-1.16213447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39738173247306 × 6371000     		du = 242.715902215952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16209637)-sin(-1.16213447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.39738173247306)×R²
    abs(1.56782424-1.56772837)×3.49623060302839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49623060302839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49623060302839e-05×40589641000000     		ar = 58918.2605522793m²