Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49124 / 81956
↖ ↑ ↗
← S 41.054502°
W 45.076904°		 ← 230.32 m → S 41.054502°
W 45.074158°		 →
↑
230.31 m
↓
↑
230.31 m
↓
S 41.056573°
W 45.076904°		 ← 230.31 m →
53 044 m²		 S 41.056573°
W 45.074158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374790191650391 y=0.625278472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374790191650391 × 217)
    floor (0.374790191650391 × 131072)
    floor (49124.5)     		tx = 49124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625278472900391 × 217)
    floor (0.625278472900391 × 131072)
    floor (81956.5)     		ty = 81956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49124 / 81956 ti = "17/49124/81956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49124/81956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49124 ÷ 217
    49124 ÷ 131072     		x = 0.374786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81956 ÷ 217
    81956 ÷ 131072     		y = 0.625274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.25042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78674040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.25054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787123891761322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78674040} λ = -0.78674040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787123891761322))-π/2
    2×atan(0.455151980939782)-π/2
    2×0.427130047392983-π/2
    0.854260094785966-1.57079632675     		φ = -0.71653623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78674040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71653623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.054502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49124 KachelY 81956 -0.78674040 -0.71653623 -45.076904 -41.054502
    Oben rechts KachelX + 1 49125 KachelY 81956 -0.78669246 -0.71653623 -45.074158 -41.054502
    Unten links KachelX 49124 KachelY + 1 81957 -0.78674040 -0.71657238 -45.076904 -41.056573
    Unten rechts KachelX + 1 49125 KachelY + 1 81957 -0.78669246 -0.71657238 -45.074158 -41.056573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71653623--0.71657238) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dl = 230.31165000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71653623--0.71657238) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dr = 230.31165000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78674040--0.78669246) × cos(-0.71653623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754085171452822 × 6371000     		do = 230.317021513854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78674040--0.78669246) × cos(-0.71657238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754061428484581 × 6371000     		du = 230.309769800209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71653623)-sin(-0.71657238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754085171452822-0.754061428484581)×R²
    abs(-0.78669246--0.78674040)×2.37429682405921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37429682405921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37429682405921e-05×40589641000000     		ar = 53043.8581765428m²