Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49135 / 81969
↖ ↑ ↗
← S 41.081422°
W 45.046692°		 ← 230.22 m → S 41.081422°
W 45.043945°		 →
↑
230.18 m
↓
↑
230.18 m
↓
S 41.083492°
W 45.046692°		 ← 230.22 m →
52 993 m²		 S 41.083492°
W 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374874114990234 y=0.625377655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374874114990234 × 217)
    floor (0.374874114990234 × 131072)
    floor (49135.5)     		tx = 49135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625377655029297 × 217)
    floor (0.625377655029297 × 131072)
    floor (81969.5)     		ty = 81969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49135 / 81969 ti = "17/49135/81969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49135/81969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49135 ÷ 217
    49135 ÷ 131072     		x = 0.374870300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81969 ÷ 217
    81969 ÷ 131072     		y = 0.625373840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374870300292969 × 2 - 1) × π
    -0.250259399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.78621309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625373840332031 × 2 - 1) × π
    -0.250747680664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.787747071456383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78621309} λ = -0.78621309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787747071456383))-π/2
    2×atan(0.45486842782854)-π/2
    2×0.426895130196335-π/2
    0.853790260392671-1.57079632675     		φ = -0.71700607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78621309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.046692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71700607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.081422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49135 KachelY 81969 -0.78621309 -0.71700607 -45.046692 -41.081422
    Oben rechts KachelX + 1 49136 KachelY 81969 -0.78616515 -0.71700607 -45.043945 -41.081422
    Unten links KachelX 49135 KachelY + 1 81970 -0.78621309 -0.71704220 -45.046692 -41.083492
    Unten rechts KachelX + 1 49136 KachelY + 1 81970 -0.78616515 -0.71704220 -45.043945 -41.083492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71700607--0.71704220) × R
    3.61299999999121e-05 × 6371000     		dl = 230.18422999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71700607--0.71704220) × R
    3.61299999999121e-05 × 6371000     		dr = 230.18422999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78621309--0.78616515) × cos(-0.71700607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753776508295863 × 6371000     		do = 230.222747840729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78621309--0.78616515) × cos(-0.71704220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753752765665685 × 6371000     		du = 230.215496230338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71700607)-sin(-0.71704220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753776508295863-0.753752765665685)×R²
    abs(-0.78616515--0.78621309)×2.37426301780141e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37426301780141e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37426301780141e-05×40589641000000     		ar = 52992.8113427241m²