Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49136 / 81936
↖ ↑ ↗
← S 41.013066°
W 45.043945°		 ← 230.41 m → S 41.013066°
W 45.041199°		 →
↑
230.44 m
↓
↑
230.44 m
↓
S 41.015138°
W 45.043945°		 ← 230.41 m →
53 096 m²		 S 41.015138°
W 45.041199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374881744384766 y=0.625125885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374881744384766 × 217)
    floor (0.374881744384766 × 131072)
    floor (49136.5)     		tx = 49136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625125885009766 × 217)
    floor (0.625125885009766 × 131072)
    floor (81936.5)     		ty = 81936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49136 / 81936 ti = "17/49136/81936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49136/81936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49136 ÷ 217
    49136 ÷ 131072     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81936 ÷ 217
    81936 ÷ 131072     		y = 0.6251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786165153768921))-π/2
    2×atan(0.455588561686058)-π/2
    2×0.427491646245776-π/2
    0.854983292491552-1.57079632675     		φ = -0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49136 KachelY 81936 -0.78616515 -0.71581303 -45.043945 -41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 49137 KachelY 81936 -0.78611722 -0.71581303 -45.041199 -41.013066
    Unten links KachelX 49136 KachelY + 1 81937 -0.78616515 -0.71584920 -45.043945 -41.015138
    Unten rechts KachelX + 1 49137 KachelY + 1 81937 -0.78611722 -0.71584920 -45.041199 -41.015138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71581303--0.71584920) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dl = 230.439070000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71581303--0.71584920) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dr = 230.439070000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78611722) × cos(-0.71581303) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 230.413959639152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78611722) × cos(-0.71584920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754536218704014 × 6371000     		du = 230.406711452123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71581303)-sin(-0.71584920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754536218704014)×R²
    abs(-0.78611722--0.78616515)×2.37363729501672e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37363729501672e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37363729501672e-05×40589641000000     		ar = 53095.5434473932m²