Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49147 / 81915
↖ ↑ ↗
← S 40.969530°
W 45.013733°		 ← 230.61 m → S 40.969530°
W 45.010986°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
S 40.971603°
W 45.013733°		 ← 230.61 m →
53 171 m²		 S 40.971603°
W 45.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374965667724609 y=0.624965667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374965667724609 × 217)
    floor (0.374965667724609 × 131072)
    floor (49147.5)     		tx = 49147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624965667724609 × 217)
    floor (0.624965667724609 × 131072)
    floor (81915.5)     		ty = 81915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49147 / 81915 ti = "17/49147/81915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49147/81915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49147 ÷ 217
    49147 ÷ 131072     		x = 0.374961853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81915 ÷ 217
    81915 ÷ 131072     		y = 0.624961853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374961853027344 × 2 - 1) × π
    -0.250076293945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.78563785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624961853027344 × 2 - 1) × π
    -0.249923706054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.7851584788769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78563785} λ = -0.78563785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7851584788769))-π/2
    2×atan(0.456047422175115)-π/2
    2×0.427871569965615-π/2
    0.85574313993123-1.57079632675     		φ = -0.71505319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78563785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.013733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71505319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.969530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49147 KachelY 81915 -0.78563785 -0.71505319 -45.013733 -40.969530
    Oben rechts KachelX + 1 49148 KachelY 81915 -0.78558991 -0.71505319 -45.010986 -40.969530
    Unten links KachelX 49147 KachelY + 1 81916 -0.78563785 -0.71508938 -45.013733 -40.971603
    Unten rechts KachelX + 1 49148 KachelY + 1 81916 -0.78558991 -0.71508938 -45.010986 -40.971603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71505319--0.71508938) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dl = 230.566489999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71505319--0.71508938) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dr = 230.566489999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78563785--0.78558991) × cos(-0.71505319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755058367853029 × 6371000     		do = 230.614260744552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78563785--0.78558991) × cos(-0.71508938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755034639110788 × 6371000     		du = 230.607013375894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71505319)-sin(-0.71508938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755058367853029-0.755034639110788)×R²
    abs(-0.78558991--0.78563785)×2.37287422413246e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37287422413246e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37287422413246e-05×40589641000000     		ar = 53171.0851492327m²