Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49152 / 81919
↖ ↑ ↗
← S 40.977825°
W 45.000000°		 ← 230.54 m → S 40.977825°
W 44.997254°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
S 40.979898°
W 45.000000°		 ← 230.53 m →
53 153 m²		 S 40.979898°
W 44.997254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375003814697266 y=0.624996185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375003814697266 × 217)
    floor (0.375003814697266 × 131072)
    floor (49152.5)     		tx = 49152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624996185302734 × 217)
    floor (0.624996185302734 × 131072)
    floor (81919.5)     		ty = 81919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49152 / 81919 ti = "17/49152/81919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49152/81919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49152 ÷ 217
    49152 ÷ 131072     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81919 ÷ 217
    81919 ÷ 131072     		y = 0.624992370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624992370605469 × 2 - 1) × π
    -0.249984741210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.78535022647538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78535022647538))-π/2
    2×atan(0.455959984560364)-π/2
    2×0.427799184201589-π/2
    0.855598368403178-1.57079632675     		φ = -0.71519796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71519796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.977825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49152 KachelY 81919 -0.78539816 -0.71519796 -45.000000 -40.977825
    Oben rechts KachelX + 1 49153 KachelY 81919 -0.78535023 -0.71519796 -44.997254 -40.977825
    Unten links KachelX 49152 KachelY + 1 81920 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 49153 KachelY + 1 81920 -0.78535023 -0.71523415 -44.997254 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71519796--0.71523415) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dl = 230.566489999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71519796--0.71523415) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dr = 230.566489999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78535023) × cos(-0.71519796) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.754963440393233 × 6371000     		do = 230.537168733869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78535023) × cos(-0.71523415) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 230.529921669075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71519796)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754963440393233-0.754939707695381)×R²
    abs(-0.78535023--0.78539816)×2.37326978522745e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37326978522745e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37326978522745e-05×40589641000000     		ar = 53153.3103501967m²