Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49154 / 81922
↖ ↑ ↗
← S 40.984045°
W 44.994507°		 ← 230.56 m → S 40.984045°
W 44.991760°		 →
↑
230.50 m
↓
↑
230.50 m
↓
S 40.986118°
W 44.994507°		 ← 230.56 m →
53 145 m²		 S 40.986118°
W 44.991760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375019073486328 y=0.625019073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375019073486328 × 217)
    floor (0.375019073486328 × 131072)
    floor (49154.5)     		tx = 49154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625019073486328 × 217)
    floor (0.625019073486328 × 131072)
    floor (81922.5)     		ty = 81922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49154 / 81922 ti = "17/49154/81922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49154/81922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49154 ÷ 217
    49154 ÷ 131072     		x = 0.375015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81922 ÷ 217
    81922 ÷ 131072     		y = 0.625015258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375015258789062 × 2 - 1) × π
    -0.249969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78530229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625015258789062 × 2 - 1) × π
    -0.250030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.78549403717424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78530229} λ = -0.78530229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78549403717424))-π/2
    2×atan(0.455894417351079)-π/2
    2×0.427744900851302-π/2
    0.855489801702605-1.57079632675     		φ = -0.71530653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78530229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.994507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71530653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.984045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49154 KachelY 81922 -0.78530229 -0.71530653 -44.994507 -40.984045
    Oben rechts KachelX + 1 49155 KachelY 81922 -0.78525435 -0.71530653 -44.991760 -40.984045
    Unten links KachelX 49154 KachelY + 1 81923 -0.78530229 -0.71534271 -44.994507 -40.986118
    Unten rechts KachelX + 1 49155 KachelY + 1 81923 -0.78525435 -0.71534271 -44.991760 -40.986118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71530653--0.71534271) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dl = 230.502780000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71530653--0.71534271) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dr = 230.502780000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78530229--0.78525435) × cos(-0.71530653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754892239333438 × 6371000     		do = 230.563520818521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78530229--0.78525435) × cos(-0.71534271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75486851022817 × 6371000     		du = 230.556273338985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71530653)-sin(-0.71534271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754892239333438-0.75486851022817)×R²
    abs(-0.78525435--0.78530229)×2.37291052673783e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37291052673783e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37291052673783e-05×40589641000000     		ar = 53144.6972389909m²