Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49156 / 114700
↖ ↑ ↗
← S 79.177525°
W 44.989014°		 ← 57.35 m → S 79.177525°
W 44.986267°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.178041°
W 44.989014°		 ← 57.35 m →
3 292 m²		 S 79.178041°
W 44.986267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375034332275391 y=0.875095367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375034332275391 × 217)
    floor (0.375034332275391 × 131072)
    floor (49156.5)     		tx = 49156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875095367431641 × 217)
    floor (0.875095367431641 × 131072)
    floor (114700.5)     		ty = 114700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49156 / 114700 ti = "17/49156/114700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49156/114700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49156 ÷ 217
    49156 ÷ 131072     		x = 0.375030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114700 ÷ 217
    114700 ÷ 131072     		y = 0.875091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.75018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35676973292044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78520642} λ = -0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35676973292044))-π/2
    2×atan(0.0947257188856277)-π/2
    2×0.0944439111075383-π/2
    0.188887822215077-1.57079632675     		φ = -1.38190850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38190850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.177525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49156 KachelY 114700 -0.78520642 -1.38190850 -44.989014 -79.177525
    Oben rechts KachelX + 1 49157 KachelY 114700 -0.78515848 -1.38190850 -44.986267 -79.177525
    Unten links KachelX 49156 KachelY + 1 114701 -0.78520642 -1.38191751 -44.989014 -79.178041
    Unten rechts KachelX + 1 49157 KachelY + 1 114701 -0.78515848 -1.38191751 -44.986267 -79.178041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38190850--1.38191751) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dl = 57.4027100005543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38190850--1.38191751) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dr = 57.4027100005543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78520642--0.78515848) × cos(-1.38190850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187766619601526 × 6371000     		do = 57.3487587390571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78520642--0.78515848) × cos(-1.38191751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187757769848724 × 6371000     		du = 57.3460557967587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38190850)-sin(-1.38191751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187766619601526-0.187757769848724)×R²
    abs(-0.78515848--0.78520642)×8.84975280202038e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84975280202038e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84975280202038e-06×40589641000000     		ar = 3291.89658874362m²