Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49156 / 81925
↖ ↑ ↗
← S 40.990265°
W 44.989014°		 ← 230.54 m → S 40.990265°
W 44.986267°		 →
↑
230.50 m
↓
↑
230.50 m
↓
S 40.992338°
W 44.989014°		 ← 230.53 m →
53 140 m²		 S 40.992338°
W 44.986267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375034332275391 y=0.625041961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375034332275391 × 217)
    floor (0.375034332275391 × 131072)
    floor (49156.5)     		tx = 49156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625041961669922 × 217)
    floor (0.625041961669922 × 131072)
    floor (81925.5)     		ty = 81925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49156 / 81925 ti = "17/49156/81925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49156/81925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49156 ÷ 217
    49156 ÷ 131072     		x = 0.375030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81925 ÷ 217
    81925 ÷ 131072     		y = 0.625038146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625038146972656 × 2 - 1) × π
    -0.250076293945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.7856378478731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78520642} λ = -0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7856378478731))-π/2
    2×atan(0.455828859570381)-π/2
    2×0.427690622620676-π/2
    0.855381245241351-1.57079632675     		φ = -0.71541508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71541508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.990265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49156 KachelY 81925 -0.78520642 -0.71541508 -44.989014 -40.990265
    Oben rechts KachelX + 1 49157 KachelY 81925 -0.78515848 -0.71541508 -44.986267 -40.990265
    Unten links KachelX 49156 KachelY + 1 81926 -0.78520642 -0.71545126 -44.989014 -40.992338
    Unten rechts KachelX + 1 49157 KachelY + 1 81926 -0.78515848 -0.71545126 -44.986267 -40.992338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71541508--0.71545126) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dl = 230.502780000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71541508--0.71545126) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dr = 230.502780000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78520642--0.78515848) × cos(-0.71541508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754821042494007 × 6371000     		do = 230.541775471152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78520642--0.78515848) × cos(-0.71545126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754797310424209 × 6371000     		du = 230.534527086172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71541508)-sin(-0.71545126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754821042494007-0.754797310424209)×R²
    abs(-0.78515848--0.78520642)×2.37320697987764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37320697987764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37320697987764e-05×40589641000000     		ar = 53139.684771718m²