Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49157 / 114693
↖ ↑ ↗
← S 79.173915°
W 44.986267°		 ← 57.37 m → S 79.173915°
W 44.983520°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
S 79.174430°
W 44.986267°		 ← 57.36 m →
3 289 m²		 S 79.174430°
W 44.983520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375041961669922 y=0.875041961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375041961669922 × 217)
    floor (0.375041961669922 × 131072)
    floor (49157.5)     		tx = 49157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875041961669922 × 217)
    floor (0.875041961669922 × 131072)
    floor (114693.5)     		ty = 114693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49157 / 114693 ti = "17/49157/114693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49157/114693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49157 ÷ 217
    49157 ÷ 131072     		x = 0.375038146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114693 ÷ 217
    114693 ÷ 131072     		y = 0.875038146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375038146972656 × 2 - 1) × π
    -0.249923706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.78515848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875038146972656 × 2 - 1) × π
    -0.750076293945312 × 3.1415926535     		Φ = -2.3564341746231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78515848} λ = -0.78515848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3564341746231))-π/2
    2×atan(0.0947575102201961)-π/2
    2×0.0944754196225079-π/2
    0.188950839245016-1.57079632675     		φ = -1.38184549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78515848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.986267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38184549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.173915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49157 KachelY 114693 -0.78515848 -1.38184549 -44.986267 -79.173915
    Oben rechts KachelX + 1 49158 KachelY 114693 -0.78511054 -1.38184549 -44.983520 -79.173915
    Unten links KachelX 49157 KachelY + 1 114694 -0.78515848 -1.38185449 -44.986267 -79.174430
    Unten rechts KachelX + 1 49158 KachelY + 1 114694 -0.78511054 -1.38185449 -44.983520 -79.174430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38184549--1.38185449) × R
    9.00000000014778e-06 × 6371000     		dl = 57.3390000009415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38184549--1.38185449) × R
    9.00000000014778e-06 × 6371000     		dr = 57.3390000009415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78515848--0.78511054) × cos(-1.38184549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187828508512188 × 6371000     		do = 57.3676612053938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78515848--0.78511054) × cos(-1.38185449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187819668688035 × 6371000     		du = 57.3649612955604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38184549)-sin(-1.38185449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187828508512188-0.187819668688035)×R²
    abs(-0.78511054--0.78515848)×8.83982415283979e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83982415283979e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83982415283979e-06×40589641000000     		ar = 3289.32692084468m²