Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49157 / 81931
↖ ↑ ↗
← S 41.002702°
W 44.986267°		 ← 230.50 m → S 41.002702°
W 44.983520°		 →
↑
230.50 m
↓
↑
230.50 m
↓
S 41.004775°
W 44.986267°		 ← 230.49 m →
53 130 m²		 S 41.004775°
W 44.983520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375041961669922 y=0.625087738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375041961669922 × 217)
    floor (0.375041961669922 × 131072)
    floor (49157.5)     		tx = 49157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625087738037109 × 217)
    floor (0.625087738037109 × 131072)
    floor (81931.5)     		ty = 81931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49157 / 81931 ti = "17/49157/81931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49157/81931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49157 ÷ 217
    49157 ÷ 131072     		x = 0.375038146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81931 ÷ 217
    81931 ÷ 131072     		y = 0.625083923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375038146972656 × 2 - 1) × π
    -0.249923706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.78515848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625083923339844 × 2 - 1) × π
    -0.250167846679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.785925469270821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78515848} λ = -0.78515848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785925469270821))-π/2
    2×atan(0.455697772289327)-π/2
    2×0.427582081519029-π/2
    0.855164163038058-1.57079632675     		φ = -0.71563216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78515848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.986267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71563216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.002702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49157 KachelY 81931 -0.78515848 -0.71563216 -44.986267 -41.002702
    Oben rechts KachelX + 1 49158 KachelY 81931 -0.78511054 -0.71563216 -44.983520 -41.002702
    Unten links KachelX 49157 KachelY + 1 81932 -0.78515848 -0.71566834 -44.986267 -41.004775
    Unten rechts KachelX + 1 49158 KachelY + 1 81932 -0.78511054 -0.71566834 -44.983520 -41.004775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71563216--0.71566834) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dl = 230.502780000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71563216--0.71566834) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dr = 230.502780000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78515848--0.78511054) × cos(-0.71563216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754678635255477 × 6371000     		do = 230.498280634943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78515848--0.78511054) × cos(-0.71566834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754654897258001 × 6371000     		du = 230.491030439498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71563216)-sin(-0.71566834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754678635255477-0.754654897258001)×R²
    abs(-0.78511054--0.78515848)×2.37379974764584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37379974764584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37379974764584e-05×40589641000000     		ar = 53129.6588825149m²